Hipotenusa
c² = a² + b² ⇒ c = √(a² + b²)
Se suman los cuadrados de los catetos y se saca la raíz cuadrada.
Teorema de Pitágoras: calculadora de hipotenusa y catetos
Calcula la hipotenusa o un cateto con el teorema de Pitágoras, demuestra si un triángulo es rectángulo con el recíproco y el contrarrecíproco, y obtén la resolución paso a paso: igualdad de Pitágoras, cuadrados, raíz cuadrada y conclusión.
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Resultado
-
Introduce dos longitudes positivas. Para calcular un cateto, la hipotenusa debe ser mayor que el otro cateto.
Introduce tres longitudes positivas que formen un triángulo: el lado mayor debe ser menor que la suma de los otros dos.
Resolución
- Introduce dos longitudes para ver la resolución completa.
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¿Cómo funciona esta herramienta?
Esta calculadora aplica el teorema de Pitágoras para hallar la hipotenusa o un cateto de un triángulo rectángulo, y usa su recíproco para saber si un triángulo con tres lados conocidos es rectángulo. Cada resultado incluye la resolución como en el cuaderno: igualdad a² + b² = c², sustitución de valores, cálculo de los cuadrados, raíz cuadrada exacta y valor redondeado.
Enunciado del teorema de Pitágoras: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Si ABC es rectángulo en A, BC² = AB² + AC². La hipotenusa BC es el lado opuesto al ángulo recto y siempre el lado mayor; los otros dos lados son los catetos.
Para calcular la hipotenusa se suman los cuadrados de los catetos y se saca la raíz cuadrada: con AB = 3 y AC = 4, BC² = 9 + 16 = 25, luego BC = √25 = 5. Para calcular un cateto se despeja restando: AB² = BC² − AC². Cuando la raíz no es exacta, la herramienta conserva el valor exacto (por ejemplo √52) y da además una aproximación con dos decimales.
El recíproco permite demostrar que un triángulo es rectángulo: si el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, el triángulo es rectángulo y el ángulo recto está en el vértice opuesto al lado mayor. La herramienta identifica sola el lado mayor antes de comparar.
El contrarrecíproco demuestra lo contrario: si el cuadrado del lado mayor es distinto de la suma de los otros dos cuadrados, el triángulo no es rectángulo. La comparación da incluso más información: si c² es menor que a² + b², el triángulo es acutángulo; si es mayor, es obtusángulo.
Una buena resolución indica el ángulo recto, nombra el teorema, escribe la igualdad con letras, sustituye los valores, calcula los cuadrados y la raíz y termina con una frase que incluye la unidad. Para el recíproco se calculan por separado el cuadrado del lado mayor y la suma de los otros dos cuadrados, se comparan y se concluye citando el recíproco o el contrarrecíproco.
Cómo utilizar esta herramienta
Elige el modo
Teorema para calcular una longitud en un triángulo rectángulo; Recíproco para saber si un triángulo es rectángulo.
Indica el lado buscado y la unidad
La hipotenusa BC o uno de los catetos, AB o AC; los campos se adaptan a tu elección.
Introduce las longitudes conocidas
Dos longitudes en modo Teorema y los tres lados en modo Recíproco; el resultado se actualiza al escribir.
Lee y copia la resolución
Igualdad de Pitágoras, cuadrados, raíz y conclusión aparecen como en el cuaderno; el botón copia la resolución en texto.
Fórmulas del teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, a y b son los catetos y c es la hipotenusa.
Cateto
a² = c² − b² ⇒ a = √(c² − b²)
Se resta el cuadrado del otro cateto al cuadrado de la hipotenusa.
Recíproco
c² = a² + b² ⇒ triángulo rectángulo
c es aquí el lado mayor; el ángulo recto está en el vértice opuesto a c.
Contrarrecíproco
c² ≠ a² + b² ⇒ triángulo no rectángulo
Si la igualdad no se cumple para el lado mayor, el triángulo no es rectángulo.
- a, b
- catetos, los lados que forman el ángulo recto
- c
- hipotenusa, opuesta al ángulo recto y lado mayor
Ejemplo: con a = 3 y b = 4, c = √(3² + 4²) = √25 = 5.
Casos de uso
Deberes y exámenes
Comprobar el cálculo de una hipotenusa o la demostración de un ángulo recto y comparar tu resolución con una solución completa.
Bricolaje y obra
Escuadrar una esquina con la regla 3-4-5 (60 cm, 80 cm y 1 m) o calcular la longitud de una viga, una rampa o una escalera.
Diagonales y distancias
Hallar la diagonal de una pantalla, de una habitación o de cualquier rectángulo, o una distancia en línea recta sobre una cuadrícula.
Valores exactos y redondeo
Practicar a conservar una raíz cuadrada exacta y a dar una aproximación bien redondeada.
Ejemplos
Calcular la hipotenusa
BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, luego BC = √25 = 5 cm.
Entrada
AB = 3 cm, AC = 4 cmResultado
BC = 5 cmHipotenusa no entera
BC² = 16 + 36 = 52; √52 no es exacta y, redondeada a las centésimas, vale 7,21 cm.
Entrada
AB = 4 cm, AC = 6 cmResultado
BC = √52 ≈ 7,21 cmCalcular un cateto
AB² = BC² − AC² = 169 − 25 = 144, luego AB = √144 = 12 cm.
Entrada
BC = 13 cm, AC = 5 cmResultado
AB = 12 cmAltura que alcanza una escalera
h² = 5² − 1,4² = 25 − 1,96 = 23,04, luego h = √23,04 = 4,8 m.
Entrada
escalera de 5 m, pie a 1,4 m de la paredResultado
altura = 4,8 mDiagonal de un rectángulo
d² = 1,44 + 0,25 = 1,69, luego d = √1,69 = 1,3 m.
Entrada
lados de 1,2 m y 0,5 mResultado
diagonal = 1,3 mRecíproco: triángulo rectángulo
BC² = 100 y AB² + AC² = 36 + 64 = 100: se cumple la igualdad.
Entrada
AB = 6, AC = 8, BC = 10Resultado
rectángulo en AContrarrecíproco: triángulo no rectángulo
8² = 64 pero 5² + 6² = 25 + 36 = 61, y 64 ≠ 61.
Entrada
lados de 5, 6 y 8Resultado
no rectánguloConsejos y buenas prácticas
- Localiza primero la hipotenusa: es el lado opuesto al ángulo recto y el mayor. Va sola a un lado de la igualdad BC² = AB² + AC².
- Para un cateto hay que restar: AB² = BC² − AC². Sumar los cuadrados en lugar de restarlos es el error más frecuente.
- No olvides la raíz final: BC² = 25 no significa BC = 25, sino BC = 5.
- Conserva el valor exacto (√52) hasta el final y redondea solo en el último paso, con la precisión que te pidan.
- En el recíproco compara el cuadrado del lado mayor con la suma de los otros dos cuadrados, nunca un lado cualquiera.
- Trabaja en una sola unidad: convierte centímetros y metros antes de elevar al cuadrado.
Fuentes y referencias
- Weisstein E.W., Pythagorean Theorem (se abre en una pestaña nueva), Wolfram MathWorldPágina en inglés
- Euclid, ed. D.E. Joyce, Elements, Book I, Proposition 47 (se abre en una pestaña nueva), Clark UniversityPágina en inglés
- Euclid, ed. D.E. Joyce, Elements, Book I, Proposition 48 (se abre en una pestaña nueva), Clark UniversityPágina en inglés
- Programme de mathématiques pour le cycle 4 (annexe 2) (se abre en una pestaña nueva), Ministère de l’Éducation nationalePágina en francés
Preguntas frecuentes
¿Cuándo se puede usar el teorema de Pitágoras?
Solo en un triángulo rectángulo, cuando conoces dos lados y buscas el tercero. Si el triángulo no tiene ángulo recto, la igualdad no se cumple y hay que usar otras herramientas, como la trigonometría o el teorema del coseno.
¿Cómo se calcula la hipotenusa?
Suma los cuadrados de los dos catetos y saca la raíz cuadrada: c = √(a² + b²). Con catetos de 6 y 8 cm, √(36 + 64) = √100 = 10 cm.
¿Cómo se calcula un cateto?
Resta el cuadrado del cateto conocido al cuadrado de la hipotenusa y saca la raíz: a = √(c² − b²). Con c = 13 y b = 5, √(169 − 25) = √144 = 12.
¿Qué son el recíproco y el contrarrecíproco?
El teorema parte de un triángulo rectángulo para calcular una longitud. El recíproco parte de c² = a² + b², con c el lado mayor, para demostrar que el triángulo es rectángulo. El contrarrecíproco parte de c² ≠ a² + b² para demostrar que no lo es.
¿Por qué aparecen una raíz cuadrada y un decimal?
Cuando el resultado no es un cuadrado perfecto, la longitud exacta se escribe con una raíz, como √52. La herramienta la conserva y da también el valor redondeado, 7,21, útil para una medida real.
¿Qué es una terna pitagórica?
Un conjunto de tres números enteros que cumplen a² + b² = c², como 3, 4, 5 o 5, 12, 13. Cualquier múltiplo de una terna también lo es (6, 8, 10), y por eso los albañiles usan la regla 3-4-5 para trazar un ángulo recto.
¿Sirve el teorema en tres dimensiones?
Sí, aplicándolo dos veces. La diagonal de una caja de aristas a, b y c mide √(a² + b² + c²): primero se calcula la diagonal de la base y luego se usa como cateto de un segundo triángulo rectángulo.
¿Se envían mis datos a un servidor?
No. Los cálculos y la resolución se generan directamente en tu navegador, sin cuenta y sin enviar datos.
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