Teorema de Tales: calculadora de longitudes y recíproco

Esta calculadora aplica el teorema de Tales para hallar una longitud desconocida cuando dos rectas que se cortan son atravesadas por dos rectas paralelas, y usa su recíproco para demostrar si dos rectas son paralelas. Cada resultado incluye la resolución como en el cuaderno: datos, igualdad de razones escrita con fracciones, sustitución, producto cruzado y frase de conclusión.

Enunciado del teorema de Tales: sean dos rectas BM y CN que se cortan en A. Si las rectas MN y BC son paralelas, las longitudes de los triángulos AMN y ABC son proporcionales: AM/AB = AN/AC = MN/BC. Se dice que los triángulos están en posición de Tales: AMN es una reducción de ABC y las tres razones son iguales a la misma razón de semejanza k. Este resultado se conoce también como primer teorema de Tales; el llamado segundo teorema de Tales trata del triángulo inscrito en una semicircunferencia.

Hay dos configuraciones. En los triángulos encajados, M está en el segmento AB y N en el segmento AC: el triángulo pequeño AMN queda dentro de ABC. En la configuración en mariposa (o en forma de X), M y B están a ambos lados de A, igual que N y C: los dos triángulos son opuestos por el vértice A. Las razones se escriben igual; en la calculadora basta con llamar AMN al triángulo más pequeño.

Para calcular una longitud se eligen las dos razones que contienen la incógnita y tres longitudes conocidas, y se aplica el producto cruzado. Por ejemplo, con AM = 3, AB = 5 y AC = 10: 3/5 = AN/10, luego AN = 3 × 10 ÷ 5 = 6. La herramienta elige automáticamente una razón completa, muestra el cálculo y redondea a las centésimas cuando el resultado no es exacto.

El recíproco sirve para demostrar un paralelismo: si los puntos A, M, B y A, N, C están alineados en el mismo orden y AM/AB = AN/AC, entonces las rectas MN y BC son paralelas. El contrarrecíproco demuestra lo contrario: si AM/AB ≠ AN/AC, las rectas no son paralelas. Para comparar las razones sin redondeos, la herramienta comprueba también los productos cruzados AM × AC y AN × AB.

Condiciones de aplicación: los puntos deben estar alineados (lo dice el enunciado, no el dibujo), el paralelismo debe ser un dato para usar el teorema y el orden de los puntos debe ser el mismo en las dos rectas para usar el recíproco. Una buena resolución nombra las rectas secantes, las paralelas y el teorema, escribe la igualdad de razones, detalla el cálculo y termina con una frase que incluye la unidad.