Aller au contenu principal
Bethemesh
Mathématiques & calcul

Théorème de Pythagore : calcul de l’hypoténuse et réciproque

Calculez l’hypoténuse ou un côté de l’angle droit avec le théorème de Pythagore, prouvez qu’un triangle est rectangle ou non avec la réciproque et la contraposée, et obtenez une rédaction pas à pas : égalité de Pythagore, carrés, racine carrée et conclusion.

  • Presse-papiers

Intégrer ce widget

Personnalisez le rendu, vérifiez l’aperçu puis copiez le code.

Aperçu

Type de code d’intégration

Code à copier

Responsive et redimensionné automatiquement par Bethemesh.

Résultat

-

Rédaction de la solution

  1. Saisissez deux longueurs pour obtenir la rédaction complète.

Cet outil vous a-t-il été utile ?

Comment fonctionne cet outil ?

Ce calculateur applique le théorème de Pythagore pour trouver l’hypoténuse ou un côté de l’angle droit d’un triangle rectangle, et utilise sa réciproque ou sa contraposée pour savoir si un triangle est rectangle à partir de ses trois côtés. La solution est rédigée comme au collège et au brevet : hypothèse, égalité de Pythagore, remplacement par les valeurs, calcul des carrés, racine carrée exacte et valeur arrondie.

Énoncé du théorème de Pythagore : si un triangle ABC est rectangle en A, alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : BC² = AB² + AC². L’hypoténuse [BC] est le côté opposé à l’angle droit ; c’est toujours le plus long côté du triangle.

Pour calculer l’hypoténuse, on additionne les carrés des deux côtés de l’angle droit, puis on prend la racine carrée : avec AB = 3 et AC = 4, BC² = 9 + 16 = 25, donc BC = √25 = 5. Pour calculer un côté de l’angle droit, on isole son carré par soustraction : AB² = BC² − AC². Lorsque la racine carrée ne tombe pas juste, l’outil garde la valeur exacte (par exemple √52) et donne une valeur approchée au centième.

La réciproque permet de démontrer qu’un triangle est rectangle : si, dans un triangle ABC, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle, et l’angle droit est le sommet opposé au plus grand côté. L’outil repère lui-même le plus grand côté avant de comparer.

La contraposée sert à prouver qu’un triangle n’est pas rectangle : si le carré du plus grand côté est différent de la somme des carrés des deux autres, alors le triangle n’est pas rectangle. Au programme du cycle 4, le théorème, sa réciproque et sa contraposée sont étudiés en 4e et réinvestis jusqu’au brevet.

Rédaction attendue : on cite l’hypothèse (« ABC est rectangle en A »), le théorème utilisé, l’égalité de Pythagore avec les lettres, puis le remplacement par les valeurs, le calcul et la conclusion avec l’unité. Pour la réciproque, on calcule séparément le carré du plus grand côté et la somme des deux autres carrés, on compare, puis on conclut en citant la réciproque ou la contraposée.

Comment utiliser cet outil ?

  1. Choisissez le mode

    Théorème pour calculer une longueur dans un triangle rectangle ; Réciproque pour savoir si un triangle est rectangle.

  2. Indiquez le côté cherché et l’unité

    L’hypoténuse BC ou l’un des côtés de l’angle droit, AB ou AC ; les champs s’adaptent à votre choix.

  3. Saisissez les longueurs connues

    Deux longueurs en mode Théorème, les trois côtés en mode Réciproque ; le calcul se met à jour à chaque saisie.

  4. Lisez et copiez la rédaction

    Égalité de Pythagore, carrés, racine carrée et conclusion s’affichent comme dans un cahier ; le bouton copie la solution en texte.

Les formules du théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, on note a et b les côtés de l’angle droit et c l’hypoténuse.

Calcul de l’hypoténuse

c² = a² + b² ⇒ c = √(a² + b²)

On additionne les carrés des côtés de l’angle droit, puis on prend la racine carrée.

Calcul d’un côté de l’angle droit

a² = c² − b² ⇒ a = √(c² − b²)

On soustrait le carré de l’autre côté au carré de l’hypoténuse.

Réciproque

c² = a² + b² ⇒ triangle rectangle

c désigne ici le plus grand côté ; l’angle droit est le sommet opposé à c.

Contraposée

c² ≠ a² + b² ⇒ triangle non rectangle

Si l’égalité n’est pas vérifiée pour le plus grand côté, le triangle n’est pas rectangle.

a, b
côtés de l’angle droit
c
hypoténuse, côté opposé à l’angle droit et plus grand côté

Exemple : avec a = 3 et b = 4, c = √(3² + 4²) = √25 = 5.

Cas d'utilisation

Exercices de 4e, 3e et brevet

Vérifier un calcul d’hypoténuse ou une preuve d’angle droit et comparer sa rédaction avec une solution complète.

Bricolage et chantier

Vérifier une équerre avec la règle 3-4-5 (60 cm, 80 cm, 1 m), calculer la longueur d’un chevron, d’une rampe ou d’une échelle.

Diagonales et distances

Calculer la diagonale d’un écran, d’une pièce ou d’un rectangle, ou une distance à vol d’oiseau sur un quadrillage.

Révisions avec valeurs exactes

S’entraîner à conserver une racine carrée exacte et à donner une valeur approchée correctement arrondie.

Exemples

Calculer l’hypoténuse

BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, donc BC = √25 = 5 cm.

Entrée

AB = 3 cm, AC = 4 cm

Résultat

BC = 5 cm

Hypoténuse non entière

BC² = 16 + 36 = 52 ; √52 n’est pas entier, la valeur arrondie au centième est 7,21 cm.

Entrée

AB = 4 cm, AC = 6 cm

Résultat

BC = √52 ≈ 7,21 cm

Calculer un côté de l’angle droit

AB² = BC² − AC² = 169 − 25 = 144, donc AB = √144 = 12 cm.

Entrée

BC = 13 cm, AC = 5 cm

Résultat

AB = 12 cm

Hauteur atteinte par une échelle

h² = 5² − 1,4² = 25 − 1,96 = 23,04, donc h = √23,04 = 4,8 m.

Entrée

échelle de 5 m, pied à 1,4 m du mur

Résultat

hauteur = 4,8 m

Diagonale d’un rectangle

d² = 1,44 + 0,25 = 1,69, donc d = √1,69 = 1,3 m.

Entrée

côtés de 1,2 m et 0,5 m

Résultat

diagonale = 1,3 m

Réciproque : triangle rectangle

BC² = 100 et AB² + AC² = 36 + 64 = 100 : l’égalité est vérifiée.

Entrée

AB = 6, AC = 8, BC = 10

Résultat

rectangle en A

Contraposée : triangle non rectangle

8² = 64 mais 5² + 6² = 25 + 36 = 61 : 64 ≠ 61.

Entrée

côtés de 5, 6 et 8

Résultat

non rectangle

Conseils et bonnes pratiques

  • Repérez d’abord l’hypoténuse : c’est le côté opposé à l’angle droit et le plus long. Elle est seule d’un côté de l’égalité BC² = AB² + AC².
  • Pour un côté de l’angle droit, on soustrait : AB² = BC² − AC². Additionner les carrés à la place est l’erreur la plus fréquente.
  • N’oubliez pas la racine carrée finale : BC² = 25 ne donne pas BC = 25 mais BC = 5.
  • Gardez la valeur exacte (√52) jusqu’à la fin et n’arrondissez qu’au dernier moment, en précisant la précision demandée.
  • Pour la réciproque, comparez le carré du plus grand côté avec la somme des deux autres carrés, jamais un côté quelconque.
  • Travaillez dans une seule unité : convertissez les centimètres et les mètres avant de calculer les carrés.

Sources et références

Questions fréquentes

Quand utiliser le théorème de Pythagore ?

Uniquement dans un triangle rectangle, lorsqu’on connaît deux côtés et qu’on cherche le troisième. Si le triangle n’est pas rectangle, l’égalité ne s’applique pas : il faut d’autres outils, comme la trigonométrie ou la loi des cosinus.

Comment calculer l’hypoténuse ?

Additionnez les carrés des deux côtés de l’angle droit, puis prenez la racine carrée du résultat : BC = √(AB² + AC²). Par exemple, avec 6 et 8 cm : √(36 + 64) = √100 = 10 cm.

Comment calculer un côté de l’angle droit ?

Soustrayez le carré de l’autre côté au carré de l’hypoténuse, puis prenez la racine carrée : AB = √(BC² − AC²). Par exemple, avec BC = 13 et AC = 5 : √(169 − 25) = √144 = 12.

Quelle différence entre le théorème, la réciproque et la contraposée ?

Le théorème part d’un triangle rectangle pour calculer une longueur. La réciproque part de l’égalité des carrés pour prouver qu’un triangle est rectangle. La contraposée part d’une inégalité des carrés pour prouver qu’il ne l’est pas.

Comment rédiger le théorème de Pythagore au brevet ?

Écrivez « Le triangle ABC est rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC². », remplacez par les valeurs, calculez les carrés, prenez la racine carrée et concluez par une phrase avec l’unité. C’est la structure produite par l’outil.

Pourquoi l’outil affiche-t-il une racine carrée et une valeur approchée ?

Lorsque le carré obtenu n’est pas un carré parfait, la longueur exacte s’écrit avec une racine carrée, comme √52. L’outil la conserve et donne aussi une valeur approchée au centième, 7,21, utile pour une mesure concrète.

Qu’est-ce qu’un triplet pythagoricien ?

C’est un ensemble de trois nombres entiers qui vérifient a² + b² = c², comme 3, 4, 5 ou 5, 12, 13. Tout multiple d’un triplet en est encore un (6, 8, 10), ce qui explique la règle du 3-4-5 utilisée par les maçons pour tracer un angle droit.

Mes données sont-elles envoyées sur un serveur ?

Non. Les calculs et la rédaction sont produits directement dans votre navigateur, sans compte et sans envoi de données.

Outils associés

Continuez avec ces outils

Des outils similaires ou complémentaires à celui-ci.

Outils similaires

À lire aussi