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Mathématiques & calcul

Théorème de Thalès : calcul de longueur et réciproque

Calculez une longueur manquante dans une configuration de Thalès (triangles emboîtés ou papillon), vérifiez le parallélisme avec la réciproque et obtenez une rédaction pas à pas : égalité des rapports, produit en croix et conclusion.

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Triangles emboîtés : A, M, B et A, N, C sont alignés dans cet ordre. Configuration papillon : nommez AMN le plus petit des deux triangles, les calculs sont identiques.

La longueur choisie se calcule dès que sa longueur associée et un rapport complet (par exemple AM et AB) sont renseignés.

Rédaction de la solution

    Cet outil vous a-t-il été utile ?

    Comment fonctionne cet outil ?

    Ce calculateur applique le théorème de Thalès pour trouver une longueur manquante lorsque deux droites sécantes sont coupées par deux parallèles, puis utilise sa réciproque ou sa contraposée pour prouver que deux droites sont, ou ne sont pas, parallèles. La solution est rédigée comme au collège et au brevet : hypothèses, égalité des rapports écrite en fractions, remplacement par les valeurs, produit en croix et phrase de conclusion.

    Énoncé du théorème de Thalès : soient deux droites (BM) et (CN) sécantes en A. Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors les longueurs des deux triangles AMN et ABC sont proportionnelles : AM/AB = AN/AC = MN/BC. Le triangle AMN est une réduction (ou un agrandissement) du triangle ABC, et ces trois rapports valent le même coefficient k.

    Deux configurations sont au programme. Dans la configuration des triangles emboîtés, M est sur le segment [AB] et N sur le segment [AC] : le petit triangle AMN est à l’intérieur de ABC. Dans la configuration papillon, M et B sont de part et d’autre de A, ainsi que N et C : les deux triangles sont opposés par le sommet A. Les rapports s’écrivent exactement de la même façon ; dans l’outil, il suffit de nommer AMN le plus petit des deux triangles.

    Pour calculer une longueur, on choisit dans l’égalité les deux rapports qui contiennent l’inconnue et trois longueurs connues, puis on applique le produit en croix. Par exemple, avec AM = 3, AB = 5 et AC = 10 : 3/5 = AN/10, donc AN = 3 × 10 ÷ 5 = 6. L’outil choisit automatiquement un rapport complet, détaille ce calcul et arrondit au centième lorsque le résultat ne tombe pas juste.

    La réciproque permet de démontrer un parallélisme : si les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre et si AM/AB = AN/AC, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles. La contraposée sert à prouver le contraire : si AM/AB ≠ AN/AC, alors (MN) et (BC) ne sont pas parallèles. Pour comparer deux rapports sans arrondi, l’outil vérifie aussi les produits en croix AM × AC et AN × AB.

    Conditions d’application : les points doivent être alignés (on ne le suppose pas sur un dessin, on le lit dans l’énoncé), le parallélisme doit être donné pour utiliser le théorème, et l’ordre des points doit être le même sur les deux droites pour utiliser la réciproque. Au brevet, la rédaction attendue cite les droites sécantes, le parallélisme, le nom du théorème, l’égalité des trois rapports, le calcul puis une phrase de conclusion avec l’unité.

    Comment utiliser cet outil ?

    1. Choisissez le mode

      Théorème pour calculer une longueur, Réciproque pour savoir si (MN) et (BC) sont parallèles.

    2. Indiquez la longueur cherchée et l’unité

      Sélectionnez AM, AB, AN, AC, MN ou BC : le champ correspondant devient le résultat.

    3. Saisissez les longueurs connues

      Il faut la longueur associée à l’inconnue (AC pour AN, par exemple) et un rapport complet, comme AM et AB.

    4. Lisez et copiez la rédaction

      Égalité des rapports, remplacement, produit en croix et conclusion s’affichent comme dans un cahier ; le bouton copie la solution en texte.

    Les formules du théorème de Thalès

    Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A ; M et N sont placés sur ces droites.

    Théorème de Thalès

    AM / AB = AN / AC = MN / BC

    Valable lorsque (MN) et (BC) sont parallèles, dans la configuration emboîtée comme dans la configuration papillon.

    Longueur cherchée par produit en croix

    AN = AM × AC / AB

    Même principe pour les autres longueurs : on multiplie en diagonale puis on divise par la troisième valeur.

    Coefficient de réduction

    k = AM / AB

    Le triangle AMN est une réduction du triangle ABC de rapport k : MN = k × BC.

    Réciproque

    AM / AB = AN / AC ⇒ (MN) ∥ (BC)

    À condition que A, M, B et A, N, C soient alignés dans le même ordre.

    Contraposée

    AM / AB ≠ AN / AC ⇒ (MN) ∦ (BC)

    Des rapports différents prouvent que les droites ne sont pas parallèles.

    A
    point d’intersection des deux droites sécantes
    AM, AN, MN
    longueurs du petit triangle AMN
    AB, AC, BC
    longueurs correspondantes du grand triangle ABC
    k
    coefficient de proportionnalité entre les deux triangles

    Cas d'utilisation

    Exercices de 3e et brevet

    Vérifier un calcul de longueur ou une preuve de parallélisme et comparer sa rédaction avec une solution complète.

    Révisions avant un contrôle

    S’entraîner sur des valeurs variées, avec des résultats exacts ou arrondis, et repérer les erreurs de rapports.

    Mesures inaccessibles

    Estimer la hauteur d’un arbre, d’un bâtiment ou la largeur d’une rivière par la méthode de l’ombre ou des visées, comme Thalès avec la pyramide.

    Plans, maquettes et agrandissements

    Retrouver une dimension dans une figure agrandie ou réduite, sur un plan à l’échelle ou un patron.

    Exemples

    Calculer un côté du petit triangle

    AM/AB = AN/AC donne 3/5 = AN/10, donc AN = 3 × 10 ÷ 5 = 6 cm.

    Entrée

    AM = 3 cm, AB = 5 cm, AC = 10 cm, (MN) ∥ (BC)

    Résultat

    AN = 6 cm

    Calculer la longueur parallèle BC

    AM/AB = MN/BC donne 4/10 = 6/BC, donc BC = 10 × 6 ÷ 4 = 15 cm.

    Entrée

    AM = 4 cm, AB = 10 cm, MN = 6 cm

    Résultat

    BC = 15 cm

    Calculer un côté du grand triangle

    2,4/6 = 3/AC, donc AC = 6 × 3 ÷ 2,4 = 7,5 cm.

    Entrée

    AM = 2,4 cm, AB = 6 cm, AN = 3 cm

    Résultat

    AC = 7,5 cm

    Résultat arrondi

    AN = 3 × 5 ÷ 7 = 15/7, soit environ 2,14 cm au centième.

    Entrée

    AM = 3 cm, AB = 7 cm, AC = 5 cm

    Résultat

    AN ≈ 2,14 cm

    Hauteur d’un arbre avec son ombre

    Les rayons du soleil sont parallèles : 2/12 = 1,5/h, donc h = 12 × 1,5 ÷ 2 = 9 m.

    Entrée

    bâton de 1,5 m, ombre du bâton 2 m, ombre de l’arbre 12 m

    Résultat

    hauteur = 9 m

    Réciproque : droites parallèles

    3/5 = 0,6 et 4,2/7 = 0,6 ; produits en croix : 3 × 7 = 21 et 4,2 × 5 = 21.

    Entrée

    AM = 3, AB = 5, AN = 4,2, AC = 7

    Résultat

    (MN) ∥ (BC)

    Contraposée : droites non parallèles

    4 × 11 = 44 mais 5 × 9 = 45 : les rapports 4/9 et 5/11 sont différents.

    Entrée

    AM = 4, AB = 9, AN = 5, AC = 11

    Résultat

    (MN) non parallèle à (BC)

    Conseils et bonnes pratiques

    • Écrivez toujours les rapports dans le même sens : longueurs du petit triangle au numérateur, longueurs correspondantes du grand triangle au dénominateur.
    • Associez les côtés qui se correspondent : AM avec AB, AN avec AC, MN avec BC. Une erreur fréquente consiste à écrire AM/MB au lieu de AM/AB.
    • Pour la réciproque, n’utilisez que les rapports AM/AB et AN/AC : l’égalité avec MN/BC ne suffit pas à prouver le parallélisme.
    • Comparez deux rapports avec les produits en croix ou en fractions exactes plutôt qu’avec des valeurs arrondies, qui peuvent sembler égales sans l’être.
    • Vérifiez l’ordre des points avant d’appliquer la réciproque : sans le même ordre sur les deux droites, la conclusion n’est pas valable.
    • Contrôlez la vraisemblance du résultat : une longueur du petit triangle doit être plus courte que la longueur correspondante du grand triangle.

    Sources et références

    Questions fréquentes

    Quand utiliser le théorème de Thalès ?

    Lorsque deux droites sécantes en un point A sont coupées par deux droites parallèles. On l’utilise pour calculer une longueur manquante dans les triangles formés, à partir de trois longueurs connues dont deux appartiennent au même rapport.

    Quelle différence entre le théorème, la réciproque et la contraposée ?

    Le théorème part du parallélisme pour calculer une longueur. La réciproque part de l’égalité AM/AB = AN/AC (points alignés dans le même ordre) pour prouver que les droites sont parallèles. La contraposée part d’une inégalité des rapports pour prouver que les droites ne sont pas parallèles.

    Comment rédiger le théorème de Thalès au brevet ?

    Citez les hypothèses (« Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A et (MN) // (BC) »), le nom du théorème, l’égalité AM/AB = AN/AC = MN/BC, le remplacement par les valeurs connues, le produit en croix, puis concluez par une phrase avec l’unité. C’est la structure produite par l’outil.

    Qu’est-ce que la configuration papillon ?

    C’est la configuration où les deux triangles sont opposés par le sommet A : M et B sont de part et d’autre de A sur une droite, N et C sur l’autre. Le théorème et l’égalité des rapports sont les mêmes que pour les triangles emboîtés ; dans l’outil, nommez AMN le plus petit des deux triangles.

    Comment trouver la longueur manquante avec le produit en croix ?

    Gardez les deux rapports qui contiennent l’inconnue, par exemple 3/5 = AN/10. Le produit en croix donne 5 × AN = 3 × 10, donc AN = 3 × 10 ÷ 5 = 6. On multiplie les deux nombres en diagonale et on divise par le troisième.

    Pourquoi l’égalité avec MN/BC ne prouve-t-elle pas le parallélisme ?

    La réciproque du théorème de Thalès porte uniquement sur les rapports mesurés sur les deux droites sécantes, AM/AB et AN/AC. Une égalité du type AM/AB = MN/BC peut être vraie sans que (MN) et (BC) soient parallèles : elle ne permet donc pas de conclure.

    Thalès ou Pythagore : lequel utiliser ?

    Le théorème de Pythagore s’applique dans un triangle rectangle et relie les carrés de ses trois côtés. Le théorème de Thalès s’applique avec deux droites parallèles et relie des rapports de longueurs entre deux triangles. Un angle droit oriente vers Pythagore, des parallèles vers Thalès.

    Mes données sont-elles envoyées sur un serveur ?

    Non. Les calculs et la rédaction sont produits directement dans votre navigateur, sans compte et sans envoi de données.

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