Population entière (diviseur n)
À utiliser lorsque la série contient toutes les valeurs étudiées : toute la classe, toutes les pièces d’un lot.
Calcul d’écart-type et de variance
Mesurez la dispersion d’une série de nombres : écart-type et variance de population et d’échantillon, moyenne, somme des carrés des écarts et coefficient de variation.
Une valeur par ligne, ou des valeurs séparées par des espaces, des points-virgules ou des virgules suivies d’une espace. La virgule décimale est acceptée.
Échantillon (diviseur n − 1)
À utiliser lorsque la série est un extrait d’une population plus large dont on veut estimer la dispersion.
Tableau des écarts à la moyenne
| x | x − x̄ | (x − x̄)² |
|---|
Détail des calculs
Cet outil vous a-t-il été utile ?
Comment fonctionne cet outil ?
Cet outil calcule l’écart-type et la variance d’une série de nombres, dans les deux versions utilisées en pratique : population entière (σ, division par n) et échantillon (s, division par n − 1). Il affiche aussi la moyenne, le tableau des écarts à la moyenne, la somme de leurs carrés et le coefficient de variation, pour suivre le calcul comme dans un exercice ou vérifier un résultat de tableur.
L’écart-type mesure la dispersion des valeurs autour de leur moyenne : plus il est grand, plus les valeurs sont éloignées de la moyenne ; s’il est nul, toutes les valeurs sont égales. Il s’exprime dans la même unité que les données, ce qui le rend facile à interpréter.
Le calcul suit toujours les mêmes étapes : calculer la moyenne x̄, calculer l’écart de chaque valeur à la moyenne (x − x̄), élever ces écarts au carré pour supprimer les signes, additionner les carrés, diviser cette somme pour obtenir la variance, puis prendre la racine carrée de la variance pour obtenir l’écart-type.
La seule différence entre les deux versions est le diviseur. Pour une population entière, on divise par n : c’est la formule enseignée au lycée et celle de la fonction ECART.TYPE.P des tableurs. Pour un échantillon, on divise par n − 1 (correction de Bessel), car les écarts mesurés autour de la moyenne de l’échantillon sous-estiment en moyenne la dispersion réelle ; c’est la fonction ECART.TYPE.STANDARD (ou ECARTYPE).
La variance est le carré de l’écart-type. Elle s’exprime donc dans l’unité au carré (des cm², des €²), ce qui la rend moins parlante, mais elle a de bonnes propriétés de calcul : les variances de grandeurs indépendantes s’additionnent.
Le coefficient de variation (écart-type ÷ moyenne, en pourcentage) permet de comparer la dispersion de séries dont les moyennes ou les unités diffèrent. L’outil l’indique à partir de l’écart-type de population.
Comment utiliser cet outil ?
Collez la série
Une valeur par ligne ou séparées par des espaces, des points-virgules ou des virgules suivies d’une espace.
Choisissez la bonne colonne
Population (σ) si la série contient toutes les valeurs étudiées, échantillon (s) si elle n’en est qu’un extrait.
Lisez écart-type et variance
Les deux versions sont calculées en même temps, avec la moyenne et le coefficient de variation.
Vérifiez avec le tableau
Chaque ligne montre la valeur, son écart à la moyenne et le carré de cet écart.
Formules de la variance et de l’écart-type
Pour une série de n valeurs x₁, …, xₙ de moyenne x̄ :
Variance de population
σ² = Σ (xᵢ − x̄)² ÷ n
Variance d’échantillon
s² = Σ (xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1)
Écart-type
σ = √σ² et s = √s²
Formule de König-Huygens
σ² = (Σ xᵢ²) ÷ n − x̄²
Coefficient de variation
CV = σ ÷ x̄ × 100 %
- n
- effectif de la série
- x̄
- moyenne arithmétique
- xᵢ − x̄
- écart de la valeur xᵢ à la moyenne
- n − 1
- diviseur corrigé (correction de Bessel) pour un échantillon
Cas d'utilisation
Exercices de statistiques
Vérifier le calcul de la variance et de l’écart-type d’une série, étape par étape.
Comparer la régularité de résultats
Deux élèves, deux équipes ou deux fournisseurs avec la même moyenne peuvent avoir des régularités très différentes.
Contrôle qualité et mesures
Évaluer la variabilité d’une production ou la précision d’un instrument à partir d’un échantillon de mesures.
Finance
L’écart-type des rendements est la mesure de volatilité la plus courante d’un placement.
Exemples
Exemple classique
Moyenne 5, somme des carrés des écarts 32. Population : 32 ÷ 8 = 4, donc σ = 2. Échantillon : 32 ÷ 7 ≈ 4,571, donc s ≈ 2,138.
Entrée
2 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 7 ; 9Résultat
σ = 2 ; s ≈ 2,138Deux classes, même moyenne
Les deux séries ont une moyenne de 10, mais la seconde est beaucoup plus dispersée.
Entrée
10 ; 10 ; 10 ; 10 et 4 ; 8 ; 12 ; 16Résultat
σ = 0 et σ ≈ 4,472Contrôle de mesures
Un écart-type de quelques dixièmes de millimètre autour de 50 mm indique une production régulière.
Entrée
49,8 ; 50,1 ; 50,0 ; 49,9 ; 50,2Résultat
s ≈ 0,158Conseils et bonnes pratiques
- En cas de doute, utilisez l’écart-type d’échantillon (s) : c’est le choix habituel dès que les données sont un sondage, un relevé partiel ou un test.
- Pour une distribution en cloche, environ 68 % des valeurs se situent à moins d’un écart-type de la moyenne et environ 95 % à moins de deux écarts-types.
- Un écart-type ne se lit jamais seul : comparez-le à la moyenne, ou utilisez le coefficient de variation.
- Une seule valeur aberrante peut gonfler fortement l’écart-type : vérifiez le tableau des écarts avant de conclure.
- Dans un tableur, ECART.TYPE.P correspond à σ et ECART.TYPE.STANDARD à s.
Sources et références
- Weisstein E.W., Standard Deviation (s’ouvre dans un nouvel onglet), Wolfram MathWorldPage en anglais
- Weisstein E.W., Sample Variance (s’ouvre dans un nouvel onglet), Wolfram MathWorldPage en anglais
- Weisstein E.W., Bessel's Correction (s’ouvre dans un nouvel onglet), Wolfram MathWorldPage en anglais
- NIST/SEMATECH, e-Handbook of Statistical Methods: Measures of Scale (s’ouvre dans un nouvel onglet)Page en anglais
Questions fréquentes
Comment calculer un écart-type ?
Calculez la moyenne, puis l’écart de chaque valeur à la moyenne. Élevez chaque écart au carré, additionnez ces carrés et divisez par n (population) ou par n − 1 (échantillon) pour obtenir la variance. L’écart-type est la racine carrée de la variance.
Faut-il diviser par n ou par n − 1 ?
Divisez par n si votre série contient toute la population étudiée (toutes les notes de la classe, par exemple). Divisez par n − 1 si elle n’est qu’un échantillon et que vous voulez estimer la dispersion de la population entière : ce diviseur corrige la sous-estimation due à l’utilisation de la moyenne de l’échantillon.
Quelle est la différence entre variance et écart-type ?
L’écart-type est la racine carrée de la variance. Les deux mesurent la dispersion, mais l’écart-type est dans la même unité que les données (des euros, des centimètres), alors que la variance est dans l’unité au carré.
Que signifie un écart-type élevé ?
Les valeurs sont très dispersées autour de la moyenne. « Élevé » dépend du contexte : un écart-type de 2 est faible pour des salaires en euros, mais énorme pour des pièces usinées au millimètre. Le coefficient de variation aide à juger cette importance relative.
Un écart-type peut-il être négatif ?
Non. C’est la racine carrée d’une moyenne de carrés, donc il est toujours positif ou nul. Il vaut 0 seulement lorsque toutes les valeurs sont identiques.
Pourquoi mon résultat diffère-t-il de celui de ma calculatrice ?
Les calculatrices affichent souvent les deux versions : σx (ou σn) pour la population et sx (ou σn−1) pour l’échantillon. Vérifiez quelle version vous comparez ; l’outil donne les deux.
Qu’est-ce que le coefficient de variation ?
C’est l’écart-type divisé par la moyenne, exprimé en pourcentage. Un coefficient de 5 % signifie que l’écart-type représente 5 % de la moyenne. Il permet de comparer la dispersion de séries de tailles ou d’unités différentes ; il n’a pas de sens si la moyenne est proche de 0.
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