Gesamte Grundgesamtheit (Divisor n)
Verwende diese Variante, wenn die Reihe alle untersuchten Werte enthält: die ganze Klasse, alle Teile einer Charge.
Standardabweichung und Varianz berechnen
Miss die Streuung einer Zahlenreihe: Standardabweichung und Varianz für Grundgesamtheit und Stichprobe, Mittelwert, Summe der Abweichungsquadrate und Variationskoeffizient.
Ein Wert pro Zeile oder Werte getrennt durch Leerzeichen, Semikolons oder Kommas mit folgendem Leerzeichen. Das Dezimalkomma wird akzeptiert.
Stichprobe (Divisor n − 1)
Verwende diese Variante, wenn die Reihe nur ein Auszug aus einer größeren Grundgesamtheit ist, deren Streuung du schätzen willst.
Tabelle der Abweichungen vom Mittelwert
| x | x − x̄ | (x − x̄)² |
|---|
Rechenweg
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Wie funktioniert dieses Tool?
Dieses Tool berechnet Standardabweichung und Varianz einer Zahlenreihe in den beiden in der Praxis üblichen Varianten: gesamte Grundgesamtheit (σ, Division durch n) und Stichprobe (s, Division durch n − 1). Es zeigt außerdem den Mittelwert, die Tabelle der Abweichungen vom Mittelwert, die Summe ihrer Quadrate und den Variationskoeffizienten, damit du die Rechnung wie in einer Übungsaufgabe nachvollziehen oder ein Ergebnis aus der Tabellenkalkulation überprüfen kannst.
Die Standardabweichung misst die Streuung der Werte um ihren Mittelwert: Je größer sie ist, desto weiter liegen die Werte vom Mittelwert entfernt; ist sie null, sind alle Werte gleich. Sie hat dieselbe Einheit wie die Daten und lässt sich deshalb leicht interpretieren.
Die Berechnung folgt immer denselben Schritten: den Mittelwert x̄ bestimmen, die Abweichung jedes Werts vom Mittelwert (x − x̄) berechnen, diese Abweichungen quadrieren, damit die Vorzeichen wegfallen, die Quadrate addieren, die Summe durch den passenden Divisor teilen (das ergibt die Varianz) und schließlich die Wurzel aus der Varianz ziehen (das ergibt die Standardabweichung).
Der einzige Unterschied zwischen den beiden Varianten ist der Divisor. Für eine gesamte Grundgesamtheit teilst du durch n: Das ist die in der Schule gelehrte Formel und die Funktion STABW.N der Tabellenkalkulationen. Für eine Stichprobe teilst du durch n − 1 (Bessel-Korrektur), weil die Abweichungen um den Stichprobenmittelwert die tatsächliche Streuung im Durchschnitt unterschätzen; das ist die Funktion STABW.S (oder STABW).
Die Varianz ist das Quadrat der Standardabweichung. Sie hat daher die quadrierte Einheit (cm², €²), was sie weniger anschaulich macht, aber sie hat gute Recheneigenschaften: Die Varianzen unabhängiger Größen addieren sich.
Der Variationskoeffizient (Standardabweichung ÷ Mittelwert, in Prozent) erlaubt es, die Streuung von Reihen mit unterschiedlichen Mittelwerten oder Einheiten zu vergleichen. Das Tool gibt ihn auf Basis der Standardabweichung der Grundgesamtheit an.
So verwenden Sie dieses Tool
Reihe einfügen
Ein Wert pro Zeile oder getrennt durch Leerzeichen, Semikolons oder Kommas mit folgendem Leerzeichen.
Die passende Spalte wählen
Grundgesamtheit (σ), wenn die Reihe alle untersuchten Werte enthält, Stichprobe (s), wenn sie nur ein Auszug ist.
Standardabweichung und Varianz ablesen
Beide Varianten werden gleichzeitig berechnet, zusammen mit Mittelwert und Variationskoeffizient.
Mit der Tabelle prüfen
Jede Zeile zeigt den Wert, seine Abweichung vom Mittelwert und das Quadrat dieser Abweichung.
Formeln für Varianz und Standardabweichung
Für eine Reihe von n Werten x₁, …, xₙ mit Mittelwert x̄:
Varianz der Grundgesamtheit
σ² = Σ (xᵢ − x̄)² ÷ n
Stichprobenvarianz
s² = Σ (xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1)
Standardabweichung
σ = √σ² und s = √s²
Verschiebungssatz
σ² = (Σ xᵢ²) ÷ n − x̄²
Variationskoeffizient
VK = σ ÷ x̄ × 100 %
- n
- Anzahl der Werte der Reihe
- x̄
- arithmetischer Mittelwert
- xᵢ − x̄
- Abweichung des Werts xᵢ vom Mittelwert
- n − 1
- korrigierter Divisor (Bessel-Korrektur) für eine Stichprobe
Anwendungsfälle
Statistikaufgaben
Die Berechnung von Varianz und Standardabweichung einer Reihe Schritt für Schritt überprüfen.
Gleichmäßigkeit von Ergebnissen vergleichen
Zwei Schüler, zwei Teams oder zwei Lieferanten mit demselben Mittelwert können sehr unterschiedlich gleichmäßig sein.
Qualitätskontrolle und Messungen
Die Schwankung einer Produktion oder die Genauigkeit eines Messgeräts anhand einer Stichprobe von Messwerten beurteilen.
Finanzen
Die Standardabweichung der Renditen ist das gängigste Maß für die Volatilität einer Geldanlage.
Beispiele
Klassisches Beispiel
Mittelwert 5, Summe der Abweichungsquadrate 32. Grundgesamtheit: 32 ÷ 8 = 4, also σ = 2. Stichprobe: 32 ÷ 7 ≈ 4,571, also s ≈ 2,138.
Eingabe
2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9Ergebnis
σ = 2; s ≈ 2,138Zwei Klassen, gleicher Mittelwert
Beide Reihen haben den Mittelwert 10, aber die zweite streut viel stärker.
Eingabe
10; 10; 10; 10 und 4; 8; 12; 16Ergebnis
σ = 0 und σ ≈ 4,472Kontrolle von Messwerten
Eine Standardabweichung von wenigen Zehntelmillimetern um 50 mm deutet auf eine gleichmäßige Produktion hin.
Eingabe
49,8; 50,1; 50,0; 49,9; 50,2Ergebnis
s ≈ 0,158Tipps und bewährte Vorgehensweisen
- Im Zweifel nimm die Stichprobenstandardabweichung (s): Sie ist die übliche Wahl, sobald die Daten eine Umfrage, eine Teilerhebung oder ein Test sind.
- Bei einer glockenförmigen Verteilung liegen etwa 68 % der Werte innerhalb einer Standardabweichung um den Mittelwert und etwa 95 % innerhalb von zwei Standardabweichungen.
- Eine Standardabweichung liest man nie allein: Vergleiche sie mit dem Mittelwert oder nutze den Variationskoeffizienten.
- Ein einziger Ausreißer kann die Standardabweichung stark aufblähen: Prüfe die Abweichungstabelle, bevor du Schlüsse ziehst.
- In einer Tabellenkalkulation entspricht STABW.N dem σ und STABW.S dem s.
Quellen und Referenzen
- Weisstein E.W., Standard Deviation (öffnet in einem neuen Tab), Wolfram MathWorldSeite auf Englisch
- Weisstein E.W., Sample Variance (öffnet in einem neuen Tab), Wolfram MathWorldSeite auf Englisch
- Weisstein E.W., Bessel's Correction (öffnet in einem neuen Tab), Wolfram MathWorldSeite auf Englisch
- NIST/SEMATECH, e-Handbook of Statistical Methods: Measures of Scale (öffnet in einem neuen Tab)Seite auf Englisch
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich eine Standardabweichung?
Berechne den Mittelwert und dann die Abweichung jedes Werts vom Mittelwert. Quadriere jede Abweichung, addiere die Quadrate und teile durch n (Grundgesamtheit) oder n − 1 (Stichprobe), um die Varianz zu erhalten. Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz.
Muss ich durch n oder durch n − 1 teilen?
Teile durch n, wenn deine Reihe die gesamte untersuchte Grundgesamtheit enthält (zum Beispiel alle Noten der Klasse). Teile durch n − 1, wenn sie nur eine Stichprobe ist und du die Streuung der gesamten Grundgesamtheit schätzen willst: Dieser Divisor gleicht die Unterschätzung aus, die durch die Verwendung des Stichprobenmittelwerts entsteht.
Was ist der Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung?
Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz. Beide messen die Streuung, aber die Standardabweichung hat dieselbe Einheit wie die Daten (Euro, Zentimeter), während die Varianz die quadrierte Einheit hat.
Was bedeutet eine hohe Standardabweichung?
Die Werte streuen stark um den Mittelwert. Was „hoch“ ist, hängt vom Kontext ab: Eine Standardabweichung von 2 ist für Gehälter in Euro winzig, für auf den Millimeter gefertigte Teile aber enorm. Der Variationskoeffizient hilft, diese relative Bedeutung einzuschätzen.
Kann eine Standardabweichung negativ sein?
Nein. Sie ist die Wurzel aus einem Mittelwert von Quadraten und daher immer positiv oder null. Sie ist nur dann 0, wenn alle Werte identisch sind.
Warum weicht mein Ergebnis von dem meines Taschenrechners ab?
Taschenrechner zeigen oft beide Varianten an: σx (oder σn) für die Grundgesamtheit und sx (oder σn−1) für die Stichprobe. Prüfe, welche Variante du vergleichst; das Tool liefert beide.
Was ist der Variationskoeffizient?
Das ist die Standardabweichung geteilt durch den Mittelwert, in Prozent. Ein Koeffizient von 5 % bedeutet, dass die Standardabweichung 5 % des Mittelwerts beträgt. Er erlaubt den Vergleich der Streuung von Reihen unterschiedlicher Größe oder Einheit; bei einem Mittelwert nahe 0 ist er nicht aussagekräftig.
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