População completa (divisor n)
Use quando a série contém todos os valores em estudo: toda a turma, todas as peças de um lote.
Calculadora de desvio padrão e variância
Meça a dispersão de uma série de números: desvio padrão e variância da população e da amostra, média, soma dos quadrados dos desvios e coeficiente de variação.
Um valor por linha, ou valores separados por espaços, pontos e vírgulas ou vírgulas seguidas de espaço. A vírgula decimal é aceite.
Amostra (divisor n − 1)
Use quando a série é uma parte de uma população mais vasta cuja dispersão se quer estimar.
Tabela dos desvios em relação à média
| x | x − x̄ | (x − x̄)² |
|---|
Detalhe dos cálculos
Esta ferramenta foi útil?
Como funciona esta ferramenta?
Esta ferramenta calcula o desvio padrão e a variância de uma série de números, nas duas versões usadas na prática: população completa (σ, divisão por n) e amostra (s, divisão por n − 1). Mostra também a média, a tabela dos desvios em relação à média, a soma dos respetivos quadrados e o coeficiente de variação, para acompanhar o cálculo como num exercício ou verificar o resultado de uma folha de cálculo.
O desvio padrão mede a dispersão dos valores em torno da média: quanto maior for, mais afastados da média estão os valores; se for nulo, todos os valores são iguais. Exprime-se na mesma unidade dos dados, o que facilita a interpretação.
O cálculo segue sempre os mesmos passos: calcular a média x̄, calcular o desvio de cada valor em relação à média (x − x̄), elevar esses desvios ao quadrado para eliminar os sinais, somar os quadrados, dividir essa soma para obter a variância e, por fim, extrair a raiz quadrada da variância para obter o desvio padrão.
A única diferença entre as duas versões é o divisor. Para uma população completa, divide-se por n: é a fórmula ensinada no ensino secundário e a da função DESVPAD.P das folhas de cálculo. Para uma amostra, divide-se por n − 1 (correção de Bessel), porque os desvios medidos em torno da média da amostra subestimam, em média, a dispersão real; é a função DESVPAD.S.
A variância é o quadrado do desvio padrão. Exprime-se, por isso, na unidade ao quadrado (cm², €²), o que a torna menos intuitiva, mas tem boas propriedades de cálculo: as variâncias de grandezas independentes somam-se.
O coeficiente de variação (desvio padrão ÷ média, em percentagem) permite comparar a dispersão de séries cujas médias ou unidades são diferentes. A ferramenta indica-o a partir do desvio padrão da população.
Como usar esta ferramenta
Cole a série
Um valor por linha ou separados por espaços, pontos e vírgulas ou vírgulas seguidas de espaço.
Escolha a coluna certa
População (σ) se a série contém todos os valores em estudo, amostra (s) se é apenas uma parte deles.
Leia o desvio padrão e a variância
As duas versões são calculadas em simultâneo, com a média e o coeficiente de variação.
Confirme com a tabela
Cada linha mostra o valor, o seu desvio em relação à média e o quadrado desse desvio.
Fórmulas da variância e do desvio padrão
Para uma série de n valores x₁, …, xₙ de média x̄:
Variância da população
σ² = Σ (xᵢ − x̄)² ÷ n
Variância da amostra
s² = Σ (xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1)
Desvio padrão
σ = √σ² e s = √s²
Fórmula de König-Huygens
σ² = (Σ xᵢ²) ÷ n − x̄²
Coeficiente de variação
CV = σ ÷ x̄ × 100 %
- n
- número de valores da série
- x̄
- média aritmética
- xᵢ − x̄
- desvio do valor xᵢ em relação à média
- n − 1
- divisor corrigido (correção de Bessel) para uma amostra
Casos de uso
Exercícios de estatística
Verificar, passo a passo, o cálculo da variância e do desvio padrão de uma série.
Comparar a regularidade de resultados
Dois alunos, duas equipas ou dois fornecedores com a mesma média podem ter regularidades muito diferentes.
Controlo de qualidade e medições
Avaliar a variabilidade de uma produção ou a precisão de um instrumento a partir de uma amostra de medições.
Finanças
O desvio padrão das rendibilidades é a medida de volatilidade mais comum de um investimento.
Exemplos
Exemplo clássico
Média 5, soma dos quadrados dos desvios 32. População: 32 ÷ 8 = 4, logo σ = 2. Amostra: 32 ÷ 7 ≈ 4,571, logo s ≈ 2,138.
Entrada
2 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 7 ; 9Resultado
σ = 2 ; s ≈ 2,138Duas turmas, a mesma média
As duas séries têm média 10, mas a segunda é muito mais dispersa.
Entrada
10 ; 10 ; 10 ; 10 e 4 ; 8 ; 12 ; 16Resultado
σ = 0 e σ ≈ 4,472Controlo de medições
Um desvio padrão de algumas décimas de milímetro em torno de 50 mm indica uma produção regular.
Entrada
49,8 ; 50,1 ; 50,0 ; 49,9 ; 50,2Resultado
s ≈ 0,158Dicas e boas práticas
- Em caso de dúvida, use o desvio padrão amostral (s): é a escolha habitual sempre que os dados são um inquérito, um registo parcial ou um teste.
- Numa distribuição em sino, cerca de 68 % dos valores situam-se a menos de um desvio padrão da média e cerca de 95 % a menos de dois desvios padrão.
- Um desvio padrão nunca se lê isolado: compare-o com a média ou use o coeficiente de variação.
- Um único valor atípico pode inflacionar muito o desvio padrão: verifique a tabela dos desvios antes de concluir.
- Numa folha de cálculo, DESVPAD.P corresponde a σ e DESVPAD.S a s.
Fontes e referências
- Weisstein E.W., Standard Deviation (abre num novo separador), Wolfram MathWorldPágina em inglês
- Weisstein E.W., Sample Variance (abre num novo separador), Wolfram MathWorldPágina em inglês
- Weisstein E.W., Bessel's Correction (abre num novo separador), Wolfram MathWorldPágina em inglês
- NIST/SEMATECH, e-Handbook of Statistical Methods: Measures of Scale (abre num novo separador)Página em inglês
Perguntas frequentes
Como calcular um desvio padrão?
Calcule a média e depois o desvio de cada valor em relação à média. Eleve cada desvio ao quadrado, some esses quadrados e divida por n (população) ou por n − 1 (amostra) para obter a variância. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.
É preciso dividir por n ou por n − 1?
Divida por n se a sua série contiver toda a população em estudo (todas as notas da turma, por exemplo). Divida por n − 1 se for apenas uma amostra e quiser estimar a dispersão da população inteira: este divisor corrige a subestimação devida ao uso da média da amostra.
Qual é a diferença entre variância e desvio padrão?
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Ambos medem a dispersão, mas o desvio padrão está na mesma unidade dos dados (euros, centímetros), enquanto a variância está na unidade ao quadrado.
O que significa um desvio padrão elevado?
Os valores estão muito dispersos em torno da média. «Elevado» depende do contexto: um desvio padrão de 2 é baixo para salários em euros, mas enorme para peças maquinadas ao milímetro. O coeficiente de variação ajuda a avaliar essa importância relativa.
Um desvio padrão pode ser negativo?
Não. É a raiz quadrada de uma média de quadrados, pelo que é sempre positivo ou nulo. Só é 0 quando todos os valores são idênticos.
Porque é que o meu resultado difere do da minha calculadora?
As calculadoras mostram frequentemente as duas versões: σx (ou σn) para a população e sx (ou σn−1) para a amostra. Verifique qual das versões está a comparar; a ferramenta dá as duas.
O que é o coeficiente de variação?
É o desvio padrão dividido pela média, expresso em percentagem. Um coeficiente de 5 % significa que o desvio padrão representa 5 % da média. Permite comparar a dispersão de séries de tamanhos ou unidades diferentes; não tem significado se a média estiver próxima de 0.
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