Intera popolazione (divisore n)
Da usare quando la serie contiene tutti i valori studiati: tutta la classe, tutti i pezzi di un lotto.
Calcolo di deviazione standard e varianza
Misura la dispersione di una serie di numeri: deviazione standard e varianza di popolazione e di campione, media, somma dei quadrati degli scarti e coefficiente di variazione.
Un valore per riga, oppure valori separati da spazi, punti e virgola o virgole seguite da uno spazio. La virgola decimale è accettata.
Campione (divisore n − 1)
Da usare quando la serie è un estratto di una popolazione più ampia di cui si vuole stimare la dispersione.
Tabella degli scarti dalla media
| x | x − x̄ | (x − x̄)² |
|---|
Dettaglio dei calcoli
Questo strumento ti è stato utile?
Come funziona questo strumento?
Questo strumento calcola la deviazione standard (o scarto quadratico medio) e la varianza di una serie di numeri, nelle due versioni usate in pratica: intera popolazione (σ, divisione per n) e campione (s, divisione per n − 1). Mostra anche la media, la tabella degli scarti dalla media, la somma dei loro quadrati e il coefficiente di variazione, per seguire il calcolo come in un esercizio o verificare il risultato di un foglio di calcolo.
La deviazione standard misura la dispersione dei valori attorno alla loro media: più è grande, più i valori sono lontani dalla media; se è nulla, tutti i valori sono uguali. Si esprime nella stessa unità dei dati, il che la rende facile da interpretare.
Il calcolo segue sempre gli stessi passaggi: calcolare la media x̄, calcolare lo scarto di ogni valore dalla media (x − x̄), elevare al quadrato questi scarti per eliminare i segni, sommare i quadrati, dividere questa somma per ottenere la varianza, poi prendere la radice quadrata della varianza per ottenere la deviazione standard.
L’unica differenza tra le due versioni è il divisore. Per un’intera popolazione, si divide per n: è la formula insegnata a scuola e quella della funzione DEV.ST.P dei fogli di calcolo. Per un campione, si divide per n − 1 (correzione di Bessel), perché gli scarti misurati attorno alla media del campione sottostimano in media la dispersione reale; è la funzione DEV.ST.C.
La varianza è il quadrato della deviazione standard. Si esprime quindi nell’unità al quadrato (cm², €²), il che la rende meno intuitiva, ma ha buone proprietà di calcolo: le varianze di grandezze indipendenti si sommano.
Il coefficiente di variazione (deviazione standard ÷ media, in percentuale) permette di confrontare la dispersione di serie le cui medie o unità differiscono. Lo strumento lo calcola a partire dalla deviazione standard della popolazione.
Come usare questo strumento
Incolla la serie
Un valore per riga oppure separati da spazi, punti e virgola o virgole seguite da uno spazio.
Scegli la colonna giusta
Popolazione (σ) se la serie contiene tutti i valori studiati, campione (s) se ne è solo un estratto.
Leggi deviazione standard e varianza
Le due versioni sono calcolate insieme, con la media e il coefficiente di variazione.
Verifica con la tabella
Ogni riga mostra il valore, il suo scarto dalla media e il quadrato di tale scarto.
Formule della varianza e della deviazione standard
Per una serie di n valori x₁, …, xₙ di media x̄:
Varianza della popolazione
σ² = Σ (xᵢ − x̄)² ÷ n
Varianza campionaria
s² = Σ (xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1)
Deviazione standard
σ = √σ² e s = √s²
Formula di König-Huygens
σ² = (Σ xᵢ²) ÷ n − x̄²
Coefficiente di variazione
CV = σ ÷ x̄ × 100 %
- n
- numerosità della serie
- x̄
- media aritmetica
- xᵢ − x̄
- scarto del valore xᵢ dalla media
- n − 1
- divisore corretto (correzione di Bessel) per un campione
Casi d’uso
Esercizi di statistica
Verificare il calcolo della varianza e della deviazione standard di una serie, passo dopo passo.
Confrontare la regolarità dei risultati
Due studenti, due squadre o due fornitori con la stessa media possono avere regolarità molto diverse.
Controllo qualità e misure
Valutare la variabilità di una produzione o la precisione di uno strumento a partire da un campione di misure.
Finanza
La deviazione standard dei rendimenti è la misura di volatilità più comune di un investimento.
Esempi
Esempio classico
Media 5, somma dei quadrati degli scarti 32. Popolazione: 32 ÷ 8 = 4, quindi σ = 2. Campione: 32 ÷ 7 ≈ 4,571, quindi s ≈ 2,138.
Input
2 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 7 ; 9Risultato
σ = 2 ; s ≈ 2,138Due classi, stessa media
Le due serie hanno media 10, ma la seconda è molto più dispersa.
Input
10 ; 10 ; 10 ; 10 e 4 ; 8 ; 12 ; 16Risultato
σ = 0 e σ ≈ 4,472Controllo di misure
Una deviazione standard di pochi decimi di millimetro attorno a 50 mm indica una produzione regolare.
Input
49,8 ; 50,1 ; 50,0 ; 49,9 ; 50,2Risultato
s ≈ 0,158Consigli e buone pratiche
- In caso di dubbio, usa la deviazione standard campionaria (s): è la scelta abituale quando i dati sono un sondaggio, una rilevazione parziale o un test.
- Per una distribuzione a campana, circa il 68 % dei valori si trova entro una deviazione standard dalla media e circa il 95 % entro due deviazioni standard.
- Una deviazione standard non si legge mai da sola: confrontala con la media, oppure usa il coefficiente di variazione.
- Un solo valore anomalo può far aumentare molto la deviazione standard: controlla la tabella degli scarti prima di concludere.
- In un foglio di calcolo, DEV.ST.P corrisponde a σ e DEV.ST.C a s.
Fonti e riferimenti
- Weisstein E.W., Standard Deviation (si apre in una nuova scheda), Wolfram MathWorldPagina in inglese
- Weisstein E.W., Sample Variance (si apre in una nuova scheda), Wolfram MathWorldPagina in inglese
- Weisstein E.W., Bessel's Correction (si apre in una nuova scheda), Wolfram MathWorldPagina in inglese
- NIST/SEMATECH, e-Handbook of Statistical Methods: Measures of Scale (si apre in una nuova scheda)Pagina in inglese
Domande frequenti
Come si calcola una deviazione standard?
Calcola la media, poi lo scarto di ogni valore dalla media. Eleva al quadrato ogni scarto, somma questi quadrati e dividi per n (popolazione) o per n − 1 (campione) per ottenere la varianza. La deviazione standard è la radice quadrata della varianza.
Bisogna dividere per n o per n − 1?
Dividi per n se la tua serie contiene l’intera popolazione studiata (per esempio tutti i voti della classe). Dividi per n − 1 se è solo un campione e vuoi stimare la dispersione dell’intera popolazione: questo divisore corregge la sottostima dovuta all’uso della media del campione.
Qual è la differenza tra varianza e deviazione standard?
La deviazione standard è la radice quadrata della varianza. Entrambe misurano la dispersione, ma la deviazione standard è nella stessa unità dei dati (euro, centimetri), mentre la varianza è nell’unità al quadrato.
Che cosa significa una deviazione standard elevata?
I valori sono molto dispersi attorno alla media. «Elevata» dipende dal contesto: una deviazione standard di 2 è bassa per stipendi in euro, ma enorme per pezzi lavorati al millimetro. Il coefficiente di variazione aiuta a giudicare questa importanza relativa.
Una deviazione standard può essere negativa?
No. È la radice quadrata di una media di quadrati, quindi è sempre positiva o nulla. Vale 0 solo quando tutti i valori sono identici.
Perché il mio risultato differisce da quello della mia calcolatrice?
Le calcolatrici mostrano spesso entrambe le versioni: σx (o σn) per la popolazione e sx (o σn−1) per il campione. Controlla quale versione stai confrontando; lo strumento fornisce entrambe.
Che cos’è il coefficiente di variazione?
È la deviazione standard divisa per la media, espressa in percentuale. Un coefficiente del 5 % significa che la deviazione standard rappresenta il 5 % della media. Permette di confrontare la dispersione di serie di dimensioni o unità diverse; non ha senso se la media è vicina a 0.
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