Calcolo di media, mediana, moda e campo di variazione
Calcola gli indici di posizione di una serie statistica: media, mediana, moda e campo di variazione, con la serie ordinata e il dettaglio di ogni calcolo.
Un valore per riga, oppure valori separati da spazi, punti e virgola o virgole seguite da uno spazio. La virgola decimale è accettata.
Serie ordinata in senso crescente
-
Dettaglio dei calcoli
Questo strumento ti è stato utile?
Come funziona questo strumento?
Questo calcolatore fornisce in una volta sola i principali indici di una serie statistica: media, mediana, moda, campo di variazione, minimo, massimo, somma e numerosità. Incolla un elenco di voti, misure, prezzi o tempi; lo strumento ordina la serie e spiega ogni calcolo, il che permette di verificare un esercizio o di riassumere rapidamente dei dati.
La media aritmetica è la somma dei valori divisa per il loro numero (la numerosità). Utilizza tutti i valori, il che la rende sensibile ai valori estremi: un solo stipendio molto alto basta a spingere verso l’alto la media di un gruppo.
La mediana divide la serie ordinata in due gruppi della stessa numerosità: metà dei valori le sono inferiori o uguali, l’altra metà superiori o uguali. Con una numerosità dispari è il valore centrale; con una numerosità pari è la media dei due valori centrali. Resiste meglio della media ai valori estremi.
La moda è il valore che compare più spesso. Una serie può avere più mode (si dice bimodale o multimodale) o nessuna, quando tutti i valori sono diversi. È l’unico indice che ha senso per dati non numerici, come il numero di scarpe più venduto.
Il campo di variazione è la differenza tra il valore più grande e il più piccolo. È la misura di dispersione più semplice, ma dipende solo da due valori; per misurare la dispersione dell’intera serie si usano la varianza e la deviazione standard (scarto quadratico medio).
Confrontare media e mediana dà indicazioni sulla forma della distribuzione: una media nettamente superiore alla mediana segnala alcuni valori molto alti (distribuzione allungata verso destra), una media inferiore alcuni valori molto bassi.
Come usare questo strumento
Incolla la serie
Un valore per riga oppure separati da spazi, punti e virgola o virgole seguite da uno spazio; va bene anche un’esportazione da foglio di calcolo.
Leggi gli indici
Media, mediana e moda sono messe in evidenza, con campo di variazione, numerosità, somma, minimo e massimo.
Controlla la serie ordinata
La serie ordinata in senso crescente permette di individuare un errore di digitazione o un valore anomalo.
Segui il dettaglio
Ogni indice è accompagnato dal calcolo che lo produce, compresa la posizione della mediana.
Formule degli indici di posizione
Per una serie di n valori x₁, x₂, …, xₙ, e x₍₁₎ ≤ x₍₂₎ ≤ … ≤ x₍ₙ₎ la stessa serie ordinata:
Media
x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) ÷ n = (Σ xᵢ) ÷ n
Mediana, n dispari
Me = x₍(n+1)/2₎
Mediana, n pari
Me = (x₍n/2₎ + x₍n/2+1₎) ÷ 2
Campo di variazione
e = massimo − minimo
- n
- numerosità, numero di valori
- xᵢ
- valore in posizione i
- Σ
- somma di tutti i valori
Casi d’uso
Media dei voti
Riassumere i voti di un quadrimestre o di una classe. Per pesi diversi, usa il calcolatore di media ponderata.
Esercizi di statistica
Verificare il calcolo di media, mediana e campo di variazione in un esercizio di scuola media o superiore.
Prezzi, stipendi e tempi
Confrontare media e mediana per capire se pochi valori estremi falsano il quadro d’insieme.
Misure e controllo qualità
Riassumere una serie di misure prima di calcolarne la deviazione standard.
Esempi
Voti di uno studente
Somma 109 per 8 voti. Serie ordinata: 9, 11, 12, 14, 15, 15, 15, 18; la mediana è la media del 4º e del 5º valore, (14 + 15) ÷ 2.
Input
12 ; 15 ; 11 ; 15 ; 18 ; 9 ; 15 ; 14Risultato
Media 13,625 ; mediana 14,5 ; moda 15Numerosità dispari
Serie ordinata 1, 3, 5, 7, 9: il 3º valore è la mediana. Nessuna moda, poiché ogni valore compare una volta.
Input
3 ; 7 ; 1 ; 9 ; 5Risultato
Mediana 5Effetto di un valore estremo
Lo stipendio da 9.000 spinge la media verso l’alto mentre la mediana resta rappresentativa dello stipendio «di mezzo».
Input
1.800 ; 1.900 ; 2.000 ; 2.100 ; 9.000Risultato
Media 3.360 ; mediana 2.000Serie bimodale
3 e 7 compaiono ciascuno due volte: la serie ha due mode.
Input
2 ; 3 ; 3 ; 5 ; 7 ; 7 ; 8Risultato
Mode 3 e 7Consigli e buone pratiche
- Preferisci la mediana alla media quando la serie contiene valori estremi (redditi, prezzi degli immobili, tempi di risposta).
- La media di una serie di medie non è la media complessiva se i gruppi non hanno la stessa numerosità: serve allora una media ponderata.
- La moda è utile per valori ripetuti (numeri di scarpe, voti interi), molto meno per misure continue in cui ogni valore è unico.
- Un errore di digitazione (una virgola dimenticata, 145 invece di 14,5) si nota subito guardando il minimo, il massimo e la serie ordinata.
- Per copiare una colonna da un foglio di calcolo, incollala direttamente: un valore per riga viene riconosciuto.
Fonti e riferimenti
- Weisstein E.W., Arithmetic Mean (si apre in una nuova scheda), Wolfram MathWorldPagina in inglese
- Weisstein E.W., Median (si apre in una nuova scheda), Wolfram MathWorldPagina in inglese
- Weisstein E.W., Mode (si apre in una nuova scheda), Wolfram MathWorldPagina in inglese
- NIST/SEMATECH, e-Handbook of Statistical Methods: Measures of Location (si apre in una nuova scheda)Pagina in inglese
Domande frequenti
Come si calcola una media?
Somma tutti i valori e dividi per il loro numero. Per 12, 15 e 18: (12 + 15 + 18) ÷ 3 = 45 ÷ 3 = 15.
Come si calcola la mediana?
Ordina i valori in senso crescente. Se il loro numero n è dispari, la mediana è il valore in posizione (n + 1) ÷ 2. Se n è pari, è la media dei valori in posizione n ÷ 2 e n ÷ 2 + 1. Per 9, 11, 12, 14, 15, 15, 15, 18 (n = 8), la mediana è (14 + 15) ÷ 2 = 14,5.
Come si trova la moda di una serie?
Conta quante volte compare ciascun valore: la moda è quello che ricorre più spesso. In caso di parità, la serie ha più mode; se tutti i valori compaiono una sola volta, non ha moda.
Qual è la differenza tra media e mediana?
La media tiene conto del valore esatto di ogni dato, la mediana solo del loro ordine. Un valore estremo modifica molto la media ma poco la mediana: per questo si parla spesso di stipendio mediano anziché di stipendio medio.
Che cos’è il campo di variazione di una serie?
È la differenza tra il valore massimo e il valore minimo. Per 9 e 18, il campo di variazione vale 18 − 9 = 9. Indica l’ampiezza della serie, ma non il modo in cui i valori sono distribuiti tra questi due estremi.
Una serie può avere più mode?
Sì. Se più valori raggiungono la stessa frequenza massima, sono tutti mode: la serie è bimodale (due mode) o multimodale. Lo strumento le elenca tutte.
Come si inseriscono i numeri decimali?
Usa la virgola (14,5) o il punto (14.5). Separa i valori con un ritorno a capo, uno spazio o un punto e virgola. Una virgola seguita da uno spazio, o un elenco come 1,2,3, viene letta come separatore.
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