Mittelwert, Median, Modus und Spannweite berechnen
Berechne die Lagemaße einer statistischen Reihe: Mittelwert, Median, Modus und Spannweite, mit sortierter Reihe und Rechenweg zu jedem Wert.
Ein Wert pro Zeile oder Werte getrennt durch Leerzeichen, Semikolons oder Kommas mit folgendem Leerzeichen. Das Dezimalkomma wird akzeptiert.
Reihe aufsteigend sortiert
-
Rechenweg
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Wie funktioniert dieses Tool?
Dieser Rechner liefert auf einmal die wichtigsten Kennzahlen einer statistischen Reihe: Mittelwert, Median, Modus, Spannweite, Minimum, Maximum, Summe und Anzahl. Füge eine Liste von Punktzahlen, Messwerten, Preisen oder Zeiten ein; das Tool sortiert die Reihe und erklärt jede Berechnung. So kannst du eine Aufgabe überprüfen oder Daten schnell zusammenfassen.
Der arithmetische Mittelwert ist die Summe der Werte geteilt durch ihre Anzahl. Er berücksichtigt alle Werte und reagiert deshalb empfindlich auf Ausreißer: Ein einziges sehr hohes Gehalt reicht aus, um den Durchschnitt eines Teams nach oben zu ziehen.
Der Median teilt die sortierte Reihe in zwei gleich große Gruppen: Die eine Hälfte der Werte ist kleiner oder gleich, die andere größer oder gleich. Bei ungerader Anzahl ist er der mittlere Wert, bei gerader Anzahl der Mittelwert der beiden mittleren Werte. Gegenüber Ausreißern ist er robuster als der Mittelwert.
Der Modus (Modalwert) ist der Wert, der am häufigsten vorkommt. Eine Reihe kann mehrere Modi haben (bimodal oder multimodal) oder gar keinen, wenn alle Werte verschieden sind. Er ist das einzige Lagemaß, das auch bei nicht numerischen Daten sinnvoll ist, etwa bei der meistverkauften Schuhgröße.
Die Spannweite ist der Abstand zwischen dem größten und dem kleinsten Wert. Sie ist das einfachste Streuungsmaß, hängt aber nur von zwei Werten ab; um die Streuung der gesamten Reihe zu messen, nutzt man Varianz und Standardabweichung.
Der Vergleich von Mittelwert und Median verrät etwas über die Form der Verteilung: Liegt der Mittelwert deutlich über dem Median, gibt es einige sehr hohe Werte (rechtsschiefe Verteilung); liegt er darunter, gibt es einige sehr niedrige Werte.
So verwenden Sie dieses Tool
Reihe einfügen
Ein Wert pro Zeile oder getrennt durch Leerzeichen, Semikolons oder Kommas mit folgendem Leerzeichen; ein Export aus einer Tabellenkalkulation funktioniert ebenfalls.
Kennzahlen ablesen
Mittelwert, Median und Modus stehen im Vordergrund, dazu Spannweite, Anzahl, Summe, Minimum und Maximum.
Sortierte Reihe prüfen
Die aufsteigend sortierte Reihe hilft, Eingabefehler oder Ausreißer zu erkennen.
Rechenweg nachvollziehen
Zu jeder Kennzahl wird die zugehörige Rechnung angezeigt, einschließlich der Position des Medians.
Formeln der Lagemaße
Für eine Reihe von n Werten x₁, x₂, …, xₙ, wobei x₍₁₎ ≤ x₍₂₎ ≤ … ≤ x₍ₙ₎ dieselbe Reihe sortiert ist:
Mittelwert
x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) ÷ n = (Σ xᵢ) ÷ n
Median, n ungerade
x̃ = x₍(n+1)/2₎
Median, n gerade
x̃ = (x₍n/2₎ + x₍n/2+1₎) ÷ 2
Spannweite
R = Maximum − Minimum
- n
- Anzahl der Werte
- xᵢ
- Wert an Position i
- Σ
- Summe aller Werte
Anwendungsfälle
Notendurchschnitt
Die Noten eines Halbjahres oder einer Klasse zusammenfassen. Bei unterschiedlicher Gewichtung nutzt du den Rechner für den gewichteten Mittelwert.
Statistikaufgaben
Die Berechnung von Mittelwert, Median und Spannweite in einer Aufgabe aus der Mittel- oder Oberstufe überprüfen.
Preise, Gehälter und Wartezeiten
Mittelwert und Median vergleichen, um zu sehen, ob einige Extremwerte das Gesamtbild verfälschen.
Messungen und Qualitätskontrolle
Eine Messreihe zusammenfassen, bevor du ihre Standardabweichung berechnest.
Beispiele
Testergebnisse einer Schülerin
Summe 109 bei 8 Werten. Sortierte Reihe: 9, 11, 12, 14, 15, 15, 15, 18; der Median ist der Mittelwert des 4. und 5. Werts, (14 + 15) ÷ 2.
Eingabe
12; 15; 11; 15; 18; 9; 15; 14Ergebnis
Mittelwert 13,625; Median 14,5; Modus 15Ungerade Anzahl
Sortierte Reihe 1, 3, 5, 7, 9: Der 3. Wert ist der Median. Es gibt keinen Modus, da jeder Wert nur einmal vorkommt.
Eingabe
3; 7; 1; 9; 5Ergebnis
Median 5Wirkung eines Ausreißers
Das Gehalt von 9.000 zieht den Mittelwert nach oben, während der Median das „mittlere“ Gehalt weiterhin gut abbildet.
Eingabe
1.800; 1.900; 2.000; 2.100; 9.000Ergebnis
Mittelwert 3.360; Median 2.000Bimodale Reihe
3 und 7 kommen jeweils zweimal vor: Die Reihe hat zwei Modi.
Eingabe
2; 3; 3; 5; 7; 7; 8Ergebnis
Modi 3 und 7Tipps und bewährte Vorgehensweisen
- Bevorzuge den Median gegenüber dem Mittelwert, wenn die Reihe Extremwerte enthält (Einkommen, Immobilienpreise, Antwortzeiten).
- Der Mittelwert mehrerer Mittelwerte ist nicht der Gesamtmittelwert, wenn die Gruppen unterschiedlich groß sind: Dann brauchst du einen gewichteten Mittelwert.
- Der Modus ist nützlich bei wiederkehrenden Werten (Schuhgrößen, ganzzahlige Noten), kaum dagegen bei stetigen Messwerten, bei denen jeder Wert einmalig ist.
- Einen Tippfehler (vergessenes Komma, 145 statt 14,5) erkennst du schnell an Minimum, Maximum und sortierter Reihe.
- Um eine Spalte aus einer Tabellenkalkulation zu kopieren, füge sie einfach ein: Ein Wert pro Zeile wird erkannt.
Quellen und Referenzen
- Weisstein E.W., Arithmetic Mean (öffnet in einem neuen Tab), Wolfram MathWorldSeite auf Englisch
- Weisstein E.W., Median (öffnet in einem neuen Tab), Wolfram MathWorldSeite auf Englisch
- Weisstein E.W., Mode (öffnet in einem neuen Tab), Wolfram MathWorldSeite auf Englisch
- NIST/SEMATECH, e-Handbook of Statistical Methods: Measures of Location (öffnet in einem neuen Tab)Seite auf Englisch
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich einen Mittelwert?
Addiere alle Werte und teile durch ihre Anzahl. Für 12, 15 und 18: (12 + 15 + 18) ÷ 3 = 45 ÷ 3 = 15.
Wie berechne ich den Median?
Sortiere die Werte aufsteigend. Ist ihre Anzahl n ungerade, ist der Median der Wert an Position (n + 1) ÷ 2. Ist n gerade, ist er der Mittelwert der Werte an den Positionen n ÷ 2 und n ÷ 2 + 1. Für 9, 11, 12, 14, 15, 15, 15, 18 (n = 8) ist der Median (14 + 15) ÷ 2 = 14,5.
Wie finde ich den Modus einer Reihe?
Zähle, wie oft jeder Wert vorkommt: Der Modus ist der Wert, der am häufigsten auftritt. Bei Gleichstand hat die Reihe mehrere Modi; kommt jeder Wert nur einmal vor, hat sie keinen Modus.
Was ist der Unterschied zwischen Mittelwert und Median?
Der Mittelwert berücksichtigt den genauen Wert jeder Angabe, der Median nur ihre Reihenfolge. Ein Extremwert verändert den Mittelwert stark, den Median kaum: Deshalb spricht man oft vom Medianeinkommen statt vom Durchschnittseinkommen.
Was ist die Spannweite einer Reihe?
Sie ist die Differenz zwischen größtem und kleinstem Wert. Für 9 und 18 beträgt die Spannweite 18 − 9 = 9. Sie zeigt die Breite der Reihe an, aber nicht, wie die Werte zwischen diesen beiden Grenzen verteilt sind.
Kann eine Reihe mehrere Modi haben?
Ja. Erreichen mehrere Werte dieselbe höchste Häufigkeit, sind sie alle Modi: Die Reihe ist bimodal (zwei Modi) oder multimodal. Das Tool listet alle auf.
Wie gebe ich Dezimalzahlen ein?
Verwende das Komma (14,5) oder den Punkt (14.5). Trenne die Werte durch einen Zeilenumbruch, ein Leerzeichen oder ein Semikolon. Ein Komma mit folgendem Leerzeichen oder eine Liste wie 1,2,3 wird als Trennzeichen gelesen.
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