Calculadora de combinaciones y permutaciones
Cuenta las selecciones de k elementos entre n elementos distintos.
Introduce n y k y elige si puedes seleccionar el mismo elemento más de una vez.
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¿Cómo funciona esta herramienta?
Elegir a tres personas para un equipo y asignar tres puestos en un podio no da el mismo número de posibilidades. Intercambiar dos nombres no cambia el equipo, pero sí la clasificación. Esta calculadora distingue ambas situaciones y también permite volver a elegir un mismo elemento. Cuenta las selecciones posibles sin enumerarlas.
Dos preguntas determinan el modelo: ¿importa el orden y se puede elegir un elemento varias veces? Sin repetición, un elemento elegido deja de estar disponible para las posiciones siguientes. Con repetición, sigue disponible en cada elección, como un dígito de un código. Los n elementos iniciales se consideran distintos.
La calculadora muestra las combinaciones, en las que solo importa el grupo final, y las selecciones ordenadas, llamadas variaciones cuando no hay repetición. Una permutación completa es el caso particular en el que ordenas todos los elementos: k = n. AB y BA son selecciones ordenadas distintas, pero representan una sola combinación.
El factorial n! multiplica los enteros de 1 a n: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Sin repetición, dividir el número de variaciones entre k! elimina los distintos órdenes de cada grupo. Los cálculos usan enteros exactos; el orden de magnitud científico que aparece junto a un resultado grande es aproximado.
Cómo utilizar esta herramienta
Definir la selección
Introduce el número de elementos disponibles n y el tamaño k de la selección.
Elegir la repetición
Actívala solo si cada elemento sigue disponible después de elegirlo.
Comparar los resultados
Lee las combinaciones si el orden no importa o las selecciones ordenadas si cada posición cuenta.
Elegir la fórmula según el orden y la repetición
Sin importar el orden, sin repetición
C(n,k) = n! / (k! (n−k)!)
Elegir un comité de k personas entre n, sin asignar funciones. Esta expresión supone 0 ≤ k ≤ n.
Importa el orden, sin repetición
P(n,k) = n! / (n−k)!
Asignar k puestos distintos entre n candidatos, con un máximo de un puesto por candidato.
Sin importar el orden, con repetición
C(n+k−1,k)
Para n ≥ 1, elegir k elementos entre n tipos disponibles sin límite de cantidad. AAB y ABA representan la misma selección.
Importa el orden, con repetición
n^k
Ocupar k posiciones con n símbolos disponibles en cada posición. AAB y ABA son dos secuencias distintas.
- n
- Número de elementos distintos o tipos disponibles.
- k
- Número de elementos elegidos o posiciones que hay que ocupar.
Casos de uso
Elegir un comité
Cuenta equipos posibles cuando intercambiar integrantes no cambia el grupo elegido.
Asignar puestos
Cuenta podios o funciones distintas donde intercambiar dos personas cambia el resultado.
Crear un código
Cuenta secuencias de símbolos permitiendo que cada símbolo aparezca varias veces.
Ejemplos
Un comité o un podio entre cinco personas
Un comité de tres personas corresponde a 10 grupos. Repartir oro, plata y bronce da 60 clasificaciones: cada uno de los 10 grupos admite 3! = 6 órdenes. Los ajustes son los mismos; cambia el resultado que debes interpretar.
Entrada
n = 5
k = 3
Repetición: noResultado
Combinaciones: 10
Selecciones ordenadas: 60Dos letras entre A, B y C, con repetición
Sin importar el orden, las seis opciones son AA, AB, AC, BB, BC y CC. Si cada posición importa, BA, CA y CB añaden tres posibilidades. Hay 3 × 3 = 9 secuencias, pero solo seis grupos con repetición.
Entrada
n = 3
k = 2
Repetición: síResultado
Combinaciones: 6
Selecciones ordenadas: 9Un código de cuatro dígitos
En un código importa el orden: toma 10 000, incluidos 0000 y los códigos que empiezan por cero. Si el primer dígito tiene otra restricción, las posiciones ya no disponen de las mismas opciones y estos ajustes no bastan.
Entrada
n = 10
k = 4
Repetición: síResultado
Combinaciones: 715
Selecciones ordenadas: 10 000Consejos y buenas prácticas
- Introduce enteros de 0 a 1 000. Sin repetición, pedir más elementos de los disponibles da cero posibilidades.
- Una condición como «al menos una vocal» o «estas dos personas no pueden estar juntas» requiere un razonamiento adicional; no se deduce de n y k.
- En una colección fija con duplicados, como las letras de una palabra, no confundas los objetos idénticos con la posibilidad de volver a elegir un elemento.
Fuentes y referencias
- Precalculus 2e — Counting Principles (se abre en una pestaña nueva), OpenStaxPágina en inglés
- Eric W. Weisstein, Multichoose (se abre en una pestaña nueva), Wolfram MathWorldPágina en inglés
Preguntas frecuentes
¿Cuándo importa el orden?
Si intercambiar dos elementos cambia el resultado, usa variaciones: ABC y BAC son diferentes. En un equipo formado por las mismas personas, ambas escrituras representan una sola combinación.
¿Por qué una selección vacía cuenta como una?
Hay una sola forma de no elegir nada: la selección vacía. También coincide con 0! = 1.
¿Puedo enumerar todos los grupos?
No. Solo se calcula su número; generar todos los grupos resulta mucho más costoso.
¿La repetición significa que hay elementos de partida idénticos?
No. Permite volver a elegir el mismo elemento. Contar las ordenaciones de una colección fija con elementos duplicados es otro problema.
¿Puedo usar el resultado como una probabilidad?
El resultado cuenta posibilidades. Para calcular una probabilidad también tienes que definir los casos favorables y comprobar que los resultados comparados sean equiprobables. Un gran número de combinaciones no indica, por sí solo, la probabilidad de un suceso.
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