Calcolatore di combinazioni e permutazioni
Conta le selezioni di k elementi tra n elementi distinti.
Inserisci n e k, poi scegli se lo stesso elemento può essere selezionato più volte.
Questo strumento ti è stato utile?
Come funziona questo strumento?
Scegliere tre persone per una squadra e assegnare tre posti sul podio non dà lo stesso numero di possibilità. Scambiare due nomi non cambia la squadra, ma cambia la classifica. Questo calcolatore distingue le due situazioni e consente anche di scegliere più volte lo stesso elemento. Conta le selezioni possibili senza elencarle.
Due domande determinano il modello: l’ordine conta e un elemento può essere scelto più volte? Senza ripetizione, un elemento scelto non è più disponibile per le posizioni successive. Con ripetizione, resta disponibile a ogni scelta, come una cifra in un codice. Gli n elementi iniziali sono considerati distinti.
Il calcolatore mostra le combinazioni, in cui conta solo il gruppo finale, e le selezioni ordinate, chiamate disposizioni quando non c’è ripetizione. Una permutazione completa è il caso particolare in cui ordini tutti gli elementi: k = n. AB e BA sono disposizioni diverse, ma rappresentano una sola combinazione.
Il fattoriale n! moltiplica gli interi da 1 a n: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Senza ripetizione, dividere il numero di disposizioni per k! elimina i diversi ordini di ciascun gruppo. I calcoli usano interi esatti; l’ordine di grandezza scientifico mostrato accanto a un risultato grande è invece approssimativo.
Come usare questo strumento
Definire la selezione
Inserisci il numero di elementi disponibili n e la dimensione k della selezione.
Impostare la ripetizione
Consentila solo se ogni elemento resta disponibile dopo essere stato scelto.
Confrontare i risultati
Leggi le combinazioni se l’ordine non conta, oppure le selezioni ordinate se ogni posizione conta.
Scegliere la formula in base a ordine e ripetizione
Ordine ignorato, senza ripetizione
C(n,k) = n! / (k! (n−k)!)
Scegliere un comitato di k persone fra n, senza assegnare ruoli. L’espressione presuppone 0 ≤ k ≤ n.
Ordine rilevante, senza ripetizione
P(n,k) = n! / (n−k)!
Assegnare k posti distinti fra n candidati, con al massimo un posto per candidato.
Ordine ignorato, con ripetizione
C(n+k−1,k)
Per n ≥ 1, scegliere k elementi fra n tipi disponibili senza limiti di quantità. AAB e ABA rappresentano la stessa selezione.
Ordine rilevante, con ripetizione
n^k
Riempire k posizioni con n simboli disponibili a ogni posizione. AAB e ABA sono due sequenze diverse.
- n
- Numero di elementi distinti o di tipi disponibili.
- k
- Numero di elementi scelti o di posizioni da riempire.
Casi d’uso
Scegliere un comitato
Conta le squadre possibili quando scambiare i membri non cambia il gruppo selezionato.
Assegnare posizioni
Conta podi o ruoli distinti in cui scambiare due persone cambia il risultato.
Comporre un codice
Conta sequenze di simboli consentendo che lo stesso simbolo ricorra più volte.
Esempi
Un comitato o un podio fra cinque persone
Un comitato di tre persone corrisponde a 10 gruppi. Assegnare oro, argento e bronzo dà 60 classifiche: ciascuno dei 10 gruppi ammette 3! = 6 ordini. Le impostazioni sono identiche; cambia il risultato da interpretare.
Input
n = 5
k = 3
Ripetizione: noRisultato
Combinazioni: 10
Selezioni ordinate: 60Due lettere fra A, B e C con ripetizione
Ignorando l’ordine, le sei scelte sono AA, AB, AC, BB, BC e CC. Se ogni posizione conta, BA, CA e CB aggiungono tre possibilità. Ci sono quindi 3 × 3 = 9 sequenze, ma solo sei gruppi con ripetizione.
Input
n = 3
k = 2
Ripetizione: sìRisultato
Combinazioni: 6
Selezioni ordinate: 9Un codice di quattro cifre
Per un codice conta l’ordine: considera 10 000, inclusi 0000 e i codici che iniziano con zero. Se la prima cifra ha un vincolo diverso, le posizioni non dispongono più delle stesse scelte e queste impostazioni da sole non bastano.
Input
n = 10
k = 4
Ripetizione: sìRisultato
Combinazioni: 715
Selezioni ordinate: 10 000Consigli e buone pratiche
- Inserisci interi da 0 a 1 000. Senza ripetizione, chiedere più elementi di quelli disponibili dà zero possibilità.
- Un vincolo come «almeno una vocale» o «queste due persone non possono stare insieme» richiede un ragionamento aggiuntivo; non si ricava da n e k.
- In una raccolta fissa con duplicati, come le lettere di una parola, non confondere gli oggetti identici con la possibilità di scegliere di nuovo un elemento.
Fonti e riferimenti
- Precalculus 2e — Counting Principles (si apre in una nuova scheda), OpenStaxPagina in inglese
- Eric W. Weisstein, Multichoose (si apre in una nuova scheda), Wolfram MathWorldPagina in inglese
Domande frequenti
Quando conta l’ordine?
Se scambiare due elementi cambia il risultato, usa le disposizioni: ABC e BAC sono diverse. Per una squadra composta dalle stesse persone rappresentano invece una sola combinazione.
Perché una selezione vuota vale uno?
Esiste un solo modo di non scegliere nulla: la selezione vuota. È coerente con 0! = 1.
Posso elencare tutti i gruppi?
No. Si calcola soltanto il numero; generare ogni gruppo diventa presto molto più costoso.
La ripetizione indica che alcuni elementi iniziali sono identici?
No. Consente di scegliere di nuovo lo stesso elemento. Contare le disposizioni di una raccolta fissa con duplicati prestabiliti è un problema diverso.
Posso usare il risultato come probabilità?
Il risultato conta le possibilità. Per calcolare una probabilità devi anche definire i casi favorevoli e verificare che gli esiti confrontati siano equiprobabili. Un numero elevato di combinazioni non indica, da solo, la probabilità di un evento.
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