Calculateur de combinaisons et permutations
Comptez les sélections possibles de k éléments parmi n éléments distincts.
Saisissez n et k, puis indiquez si un même élément peut être choisi plusieurs fois.
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Comment fonctionne cet outil ?
Choisir trois personnes pour une équipe et attribuer trois places sur un podium ne donnent pas le même nombre de possibilités. Dans une équipe, échanger deux noms ne change pas le groupe ; sur un podium, cela change le classement. Ce calculateur distingue ces deux situations et permet aussi de réutiliser un même élément. Il compte les sélections possibles sans les énumérer.
Deux questions déterminent le modèle : l’ordre compte-t-il, et un élément peut-il être choisi plusieurs fois ? Sans répétition, un élément choisi n’est plus disponible pour les places suivantes. Avec répétition, il reste disponible à chaque choix, comme un chiffre dans un code. Les n éléments de départ sont considérés comme distincts.
Le calcul affiche simultanément les combinaisons, pour lesquelles seul le groupe final compte, et les sélections ordonnées, appelées arrangements sans répétition. Une permutation complète est le cas particulier où vous ordonnez tous les éléments : k = n. AB et BA sont distincts dans le dénombrement ordonné, mais représentent une seule combinaison.
La factorielle n! multiplie les entiers de 1 à n : 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Sans répétition, diviser le nombre d’arrangements par k! retire les différents ordres d’un même groupe. Les calculs utilisent des entiers exacts ; l’ordre de grandeur scientifique affiché à côté d’un grand résultat est, lui, approximatif.
Comment utiliser cet outil ?
Définir le choix
Renseignez le nombre d’éléments disponibles n et la taille k de la sélection.
Régler la répétition
Autorisez la répétition uniquement si chaque élément reste disponible après avoir été choisi.
Comparer les deux résultats
Lisez les combinaisons si l’ordre ne compte pas, ou les sélections ordonnées si chaque position compte.
Choisir la formule selon l’ordre et la répétition
Ordre ignoré, sans répétition
C(n,k) = n! / (k! (n−k)!)
Pour choisir un comité de k personnes parmi n, sans attribuer de rôles. Cette écriture suppose 0 ≤ k ≤ n.
Ordre pris en compte, sans répétition
P(n,k) = n! / (n−k)!
Pour attribuer k places distinctes parmi n candidats, chaque candidat occupant au plus une place.
Ordre ignoré, avec répétition
C(n+k−1,k)
Pour n ≥ 1, choisir k éléments parmi n types disponibles sans limite de quantité. AAB et ABA représentent alors la même sélection.
Ordre pris en compte, avec répétition
n^k
Pour remplir k positions avec n symboles disponibles à chaque position. AAB et ABA sont alors deux suites différentes.
- n
- Nombre d’éléments distincts ou de types disponibles.
- k
- Nombre d’éléments choisis ou de positions à remplir.
Cas d'utilisation
Former un comité
Comptez les équipes possibles lorsque les rôles et l’ordre ne changent pas la sélection.
Attribuer des places
Comptez les podiums ou les postes distincts où intervertir deux personnes change le résultat.
Composer un code
Comptez les suites de symboles en autorisant la réutilisation de chaque symbole.
Exemples
Un comité ou un podium parmi cinq personnes
Un comité de trois personnes correspond à 10 groupes. Attribuer l’or, l’argent et le bronze donne 60 classements : chacun des 10 groupes possède 3! = 6 ordres possibles. Le réglage est identique ; c’est l’interprétation du résultat qui change.
Entrée
n = 5
k = 3
Répétition : nonRésultat
Combinaisons : 10
Sélections ordonnées : 60Deux lettres parmi A, B et C, avec répétition
En ignorant l’ordre, les six choix sont AA, AB, AC, BB, BC et CC. Si chaque position compte, BA, CA et CB deviennent trois possibilités supplémentaires. Il y a donc 3 × 3 = 9 suites, mais seulement six groupes avec répétition.
Entrée
n = 3
k = 2
Répétition : ouiRésultat
Combinaisons : 6
Sélections ordonnées : 9Former un code de quatre chiffres
Pour un code, l’ordre compte : retenez 10 000, y compris 0000 et les codes commençant par zéro. Si le premier chiffre est soumis à une règle différente, les positions ne disposent plus toutes des mêmes choix et ce réglage ne suffit pas.
Entrée
n = 10
k = 4
Répétition : ouiRésultat
Combinaisons : 715
Sélections ordonnées : 10 000Conseils et bonnes pratiques
- Les champs acceptent des entiers de 0 à 1 000. Sans répétition, demander plus d’éléments qu’il n’en existe donne zéro possibilité.
- Une contrainte telle que « au moins une voyelle » ou « deux personnes ne peuvent pas être ensemble » demande un raisonnement supplémentaire ; elle n’est pas déduite de n et k.
- Pour une collection contenant des doublons imposés, comme les lettres d’un mot, ne confondez pas objets identiques et autorisation de reprendre un élément.
Sources et références
- Precalculus 2e — Counting Principles (s’ouvre dans un nouvel onglet), OpenStaxPage en anglais
- Eric W. Weisstein, Multichoose (s’ouvre dans un nouvel onglet), Wolfram MathWorldPage en anglais
Questions fréquentes
Quand faut-il tenir compte de l’ordre ?
Si échanger deux éléments modifie le résultat, choisissez les arrangements : ABC et BAC sont différents. Pour une équipe composée des mêmes personnes, les deux écritures représentent une seule combinaison.
Pourquoi un choix vide vaut-il un ?
Il existe une seule façon de ne rien choisir : la sélection vide. C’est aussi la convention 0! = 1.
Puis-je énumérer tous les groupes ?
Non. Le calcul donne seulement leur nombre ; l’énumération serait vite beaucoup plus coûteuse.
La répétition signifie-t-elle que certains éléments de départ sont identiques ?
Non. Elle autorise à reprendre le même élément à chaque choix. Le dénombrement des permutations d’une collection contenant des doublons imposés est un autre problème.
Puis-je utiliser ce résultat comme une probabilité ?
Le résultat compte des possibilités. Pour calculer une probabilité, il faut aussi définir les cas favorables et vérifier que les issues comparées ont la même probabilité. Un grand nombre de combinaisons ne renseigne pas, à lui seul, sur la chance d’un événement.
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