Calculadora de MCD y mcm con pasos
Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de 2 a 20 enteros, con las divisiones sucesivas de Euclides y las descomposiciones en números primos.
De 2 a 20 enteros, separados por comas, puntos y comas o espacios.
El MCD es 1: estos números son primos entre sí (coprimos). Por tanto, una fracción formada por dos de ellos es irreducible.
Algoritmo de Euclides
Descomposición en factores primos
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¿Cómo funciona esta herramienta?
Esta calculadora determina el MCD (máximo común divisor) y el mcm (mínimo común múltiplo) de dos a veinte números enteros. Muestra las divisiones sucesivas del algoritmo de Euclides y la descomposición de cada número en factores primos, para entender el resultado y copiarlo en un ejercicio. Los cálculos son exactos, incluso con números de varias decenas de cifras.
El MCD de varios enteros es el mayor entero que divide a todos ellos. El mcm es el menor entero estrictamente positivo que es múltiplo de cada uno. Por ejemplo, MCD(12; 18) = 6 y mcm(12; 18) = 36.
El algoritmo de Euclides se basa en una propiedad sencilla: el MCD de a y b es igual al MCD de b y del resto de la división entera de a entre b. Por eso se sustituye el par (a; b) por (b; r) hasta obtener un resto nulo; el último resto distinto de cero es el MCD. El método ya aparece en los Elementos de Euclides, libro VII, y sigue siendo uno de los más rápidos conocidos.
Con más de dos números se aplica el cálculo de forma encadenada: MCD(a; b; c) = MCD(MCD(a; b); c). Lo mismo vale para el mcm.
La descomposición en factores primos ofrece un segundo método: el MCD es el producto de los factores primos comunes a todos los números, cada uno con su menor exponente, y el mcm es el producto de todos los factores primos que aparecen, cada uno con su mayor exponente. Para dos números, el producto a × b siempre es igual a MCD × mcm.
Dos números cuyo MCD es 1 se llaman primos entre sí (o coprimos): no tienen ningún divisor común aparte de 1, aunque ellos mismos no sean primos (8 y 15, por ejemplo).
Cómo utilizar esta herramienta
Escribe los números
Introduce de 2 a 20 enteros separados por comas, puntos y comas o espacios.
Lee el MCD y el mcm
Los dos resultados aparecen al instante, con una indicación si los números son primos entre sí.
Sigue las divisiones de Euclides
Cada línea a = q × b + r muestra una división entera hasta llegar al resto cero.
Compara con los factores primos
La descomposición de cada número, del MCD y del mcm permite comprobar el cálculo con un segundo método.
Fórmulas del MCD y del mcm
Propiedad de Euclides
MCD(a; b) = MCD(b; r), donde a = q × b + r y 0 ≤ r < b
Relación entre MCD y mcm
MCD(a; b) × mcm(a; b) = a × b
Varios números
MCD(a; b; c) = MCD(MCD(a; b); c)
Con factores primos
MCD = ∏ p^mín(exponentes) ; mcm = ∏ p^máx(exponentes)
- a, b, c
- enteros estudiados
- q, r
- cociente y resto de la división entera de a entre b
- p
- número primo que aparece en una descomposición
Casos de uso
Simplificar una fracción
Dividir el numerador y el denominador entre su MCD da directamente la fracción irreducible.
Sumar fracciones
El mcm de los denominadores es el mínimo común denominador.
Problemas de reparto y de calendario
El MCD responde a las preguntas de reparto máximo en partes iguales y el mcm a las de sucesos que coinciden de nuevo (dos autobuses, dos engranajes, dos luces intermitentes).
Aritmética e informática
El MCD sirve para comprobar que dos números son primos entre sí, una noción que se usa en criptografía (RSA) y en teoría de números.
Ejemplos
MCD de dos números
252 = 2 × 105 + 42, luego 105 = 2 × 42 + 21, luego 42 = 2 × 21 + 0: el último resto distinto de cero es 21.
Entrada
252 y 105Resultado
MCD = 21mcm para un denominador común
6 = 2 × 3, 8 = 2³ y 10 = 2 × 5: mcm = 2³ × 3 × 5 = 120, el mínimo común denominador de 1/6, 1/8 y 1/10.
Entrada
6, 8 y 10Resultado
mcm = 120Números primos entre sí
No tienen ningún factor primo común: su mcm es simplemente su producto.
Entrada
8 y 15Resultado
MCD = 1, mcm = 120Problema de reparto
Con 84 canicas rojas, 126 azules y 210 verdes, se pueden preparar como máximo 42 bolsas idénticas con 2 rojas, 3 azules y 5 verdes.
Entrada
84, 126 y 210Resultado
MCD = 42Consejos y buenas prácticas
- El MCD siempre es menor o igual que el menor de los números, y el mcm siempre es mayor o igual que el mayor.
- Si un número divide a todos los demás, es su MCD; si un número es múltiplo de todos los demás, es su mcm.
- Con dos números, calcula el mcm a partir del MCD: mcm(a; b) = a × b ÷ MCD(a; b).
- Los signos no influyen: el MCD y el mcm se dan para los valores absolutos de los números escritos.
- Si uno de los números es 0, el MCD es el de los demás números y el mcm vale 0.
Fuentes y referencias
- Weisstein E.W., Greatest Common Divisor (se abre en una pestaña nueva), Wolfram MathWorldPágina en inglés
- Weisstein E.W., Least Common Multiple (se abre en una pestaña nueva), Wolfram MathWorldPágina en inglés
- Weisstein E.W., Euclidean Algorithm (se abre en una pestaña nueva), Wolfram MathWorldPágina en inglés
- Euclid, ed. D.E. Joyce, Elements, Book VII, Proposition 2 (se abre en una pestaña nueva), Clark UniversityPágina en inglés
- Weisstein E.W., Prime Factorization (se abre en una pestaña nueva), Wolfram MathWorldPágina en inglés
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula el MCD de dos números?
Con el algoritmo de Euclides: divide el mayor entre el menor, sustituye el par por (divisor; resto) y repite hasta obtener un resto nulo. El último resto distinto de cero es el MCD. Ejemplo: 252 = 2 × 105 + 42, 105 = 2 × 42 + 21, 42 = 2 × 21 + 0, así que MCD(252; 105) = 21.
¿Cómo se calcula el mcm de dos números?
Lo más rápido es usar la relación mcm(a; b) = a × b ÷ MCD(a; b). Para 12 y 18: 12 × 18 = 216 y 216 ÷ 6 = 36. También se pueden tomar todos los factores primos con su mayor exponente: 12 = 2² × 3 y 18 = 2 × 3², así que mcm = 2² × 3² = 36.
¿Cuál es la diferencia entre MCD y mcm?
El MCD es el mayor divisor común: es menor que los números de partida y sirve para repartir o simplificar. El mcm es el menor múltiplo común: es mayor que los números de partida y sirve para hallar un denominador común o un periodo común.
¿Qué significa «números primos entre sí»?
Dos enteros son primos entre sí cuando su MCD es 1. Pueden no ser primos: 8 y 15 son primos entre sí aunque ni 8 ni 15 sean números primos. Por tanto, la fracción 8/15 es irreducible.
¿Cómo se calcula el MCD de tres o más números?
Se calcula de forma encadenada: MCD(a; b; c) = MCD(MCD(a; b); c). La herramienta muestra cada paso. El método es el mismo para el mcm.
¿Puede el MCD ser igual a uno de los números?
Sí, cuando ese número divide a todos los demás. Por ejemplo, MCD(15; 45; 60) = 15. Del mismo modo, el mcm es igual a uno de los números cuando este es múltiplo de todos los demás.
¿Hasta qué tamaño de números funciona la herramienta?
El MCD y el mcm se calculan de forma exacta sea cual sea el tamaño de los números. La descomposición en factores primos se muestra hasta 10¹⁵; más allá, tardaría demasiado en calcularse en el navegador.
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