Ir para o conteúdo principal
Bethemesh
Matemática e cálculo

Calculadora de combinações e permutações

Conte as seleções de k elementos entre n elementos distintos.

Integrar este widget

Personalize o resultado, verifique a pré-visualização e copie o código.

Pré-visualização

Tipo de código de integração

Código a copiar

Responsivo e redimensionado automaticamente pela Bethemesh.

Introduza n e k e escolha se o mesmo elemento pode ser selecionado mais de uma vez.

Combinações: sem ordem
—

Arranjos: com ordem
—

Esta ferramenta foi útil?

Como funciona esta ferramenta?

Escolher três pessoas para uma equipa e atribuir três lugares num pódio não dá o mesmo número de possibilidades. Trocar dois nomes não altera a equipa, mas altera a classificação. Esta calculadora distingue as duas situações e permite também escolher o mesmo elemento várias vezes. Conte as seleções possíveis sem as enumerar.

Duas perguntas determinam o modelo: a ordem importa e um elemento pode ser escolhido mais de uma vez? Sem repetição, um elemento escolhido deixa de estar disponível para as posições seguintes. Com repetição, continua disponível em cada escolha, como um algarismo num código. Os n elementos iniciais são considerados distintos.

A calculadora apresenta as combinações, em que só importa o grupo final, e as seleções ordenadas, chamadas arranjos quando não há repetição. Uma permutação completa é o caso particular em que se ordenam todos os elementos: k = n. AB e BA são seleções ordenadas diferentes, mas representam uma única combinação.

O fatorial n! multiplica os inteiros de 1 a n: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Sem repetição, dividir o número de arranjos por k! elimina as diferentes ordens de cada grupo. Os cálculos usam inteiros exatos; a ordem de grandeza científica apresentada junto de um resultado grande é aproximada.

Como usar esta ferramenta

  1. Definir a seleção

    Introduza o número de elementos disponíveis n e o tamanho k da seleção.

  2. Definir a repetição

    Permita-a apenas se cada elemento continuar disponível depois de ser escolhido.

  3. Comparar os resultados

    Leia as combinações se a ordem não importar, ou as seleções ordenadas se cada posição contar.

Escolher a fórmula segundo a ordem e a repetição

Ordem ignorada, sem repetição

C(n,k) = n! / (k! (n−k)!)

Escolher uma comissão de k pessoas entre n, sem atribuir funções. Esta expressão pressupõe 0 ≤ k ≤ n.

Ordem relevante, sem repetição

P(n,k) = n! / (n−k)!

Atribuir k lugares distintos entre n candidatos, com um máximo de um lugar por candidato.

Ordem ignorada, com repetição

C(n+k−1,k)

Para n ≥ 1, escolher k elementos entre n tipos disponíveis sem limite de quantidade. AAB e ABA representam a mesma seleção.

Ordem relevante, com repetição

n^k

Preencher k posições com n símbolos disponíveis em cada posição. AAB e ABA são duas sequências diferentes.

n
Número de elementos distintos ou tipos disponíveis.
k
Número de elementos escolhidos ou posições a preencher.

Casos de uso

Escolher uma comissão

Conte equipas possíveis quando trocar os membros não altera o grupo escolhido.

Atribuir posições

Conte pódios ou funções distintas em que trocar duas pessoas altera o resultado.

Compor um código

Conte sequências de símbolos permitindo que o mesmo símbolo apareça várias vezes.

Exemplos

Uma comissão ou um pódio entre cinco pessoas

Uma comissão de três pessoas corresponde a 10 grupos. Atribuir ouro, prata e bronze dá 60 classificações: cada um dos 10 grupos admite 3! = 6 ordens. As definições são as mesmas; muda o resultado a interpretar.

Entrada

n = 5
k = 3
Repetição: não

Resultado

Combinações: 10
Seleções ordenadas: 60

Duas letras entre A, B e C com repetição

Ignorando a ordem, as seis escolhas são AA, AB, AC, BB, BC e CC. Se cada posição importar, BA, CA e CB acrescentam três possibilidades. Existem 3 × 3 = 9 sequências, mas apenas seis grupos com repetição.

Entrada

n = 3
k = 2
Repetição: sim

Resultado

Combinações: 6
Seleções ordenadas: 9

Um código de quatro algarismos

Num código, a ordem importa: use 10 000, incluindo 0000 e os códigos começados por zero. Se o primeiro algarismo tiver outra restrição, as posições deixam de ter as mesmas opções e estas definições não bastam.

Entrada

n = 10
k = 4
Repetição: sim

Resultado

Combinações: 715
Seleções ordenadas: 10 000

Dicas e boas práticas

  • Introduza inteiros de 0 a 1 000. Sem repetição, pedir mais elementos do que os disponíveis dá zero possibilidades.
  • Uma condição como «pelo menos uma vogal» ou «estas duas pessoas não podem ficar juntas» exige um raciocínio adicional; não se deduz de n e k.
  • Numa coleção fixa com duplicados, como as letras de uma palavra, não confunda objetos iguais com a possibilidade de voltar a escolher um elemento.

Fontes e referências

Perguntas frequentes

Quando conta a ordem?

Se trocar dois elementos altera o resultado, use arranjos: ABC e BAC são diferentes. Numa equipa com as mesmas pessoas, as duas formas representam uma só combinação.

Porque vale um a seleção vazia?

Há uma única forma de não escolher nada: a seleção vazia. É coerente com 0! = 1.

Posso listar todos os grupos?

Não. Calcula-se apenas a quantidade; gerar todos os grupos torna-se rapidamente muito mais dispendioso.

A repetição significa que alguns elementos iniciais são iguais?

Não. Permite voltar a escolher o mesmo elemento. Contar as ordenações de uma coleção fixa com duplicados predefinidos é um problema diferente.

Posso usar o resultado como uma probabilidade?

O resultado conta possibilidades. Para calcular uma probabilidade, é também necessário definir os casos favoráveis e verificar se os resultados comparados são equiprováveis. Um número elevado de combinações não indica, por si só, a probabilidade de um acontecimento.

Ferramentas relacionadas

Continue com estas ferramentas

Ferramentas semelhantes ou complementares a esta.

Ferramentas semelhantes