Kombinationen und Permutationen berechnen
Zähle die Auswahlmöglichkeiten für k Elemente aus n unterscheidbaren Elementen.
Gib n und k ein und wähle, ob du dasselbe Element mehrfach auswählen darfst.
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Wie funktioniert dieses Tool?
Drei Personen für ein Team auszuwählen und drei Plätze auf einem Podium zu vergeben, führt zu unterschiedlichen Anzahlen. Zwei Namen zu vertauschen ändert das Team nicht, wohl aber die Rangfolge. Dieser Rechner unterscheidet beide Fälle und erlaubt auch die mehrfache Auswahl desselben Elements. Er zählt mögliche Auswahlen, ohne sie aufzulisten.
Zwei Fragen bestimmen das Modell: Zählt die Reihenfolge, und darf ein Element mehrfach gewählt werden? Ohne Wiederholung steht ein gewähltes Element für spätere Positionen nicht mehr zur Verfügung. Mit Wiederholung bleibt es bei jeder Wahl verfügbar, wie eine Ziffer in einem Code. Die n Ausgangselemente gelten als unterscheidbar.
Der Rechner zeigt Kombinationen, bei denen nur die endgültige Gruppe zählt, und geordnete Auswahlen, ohne Wiederholung auch Variationen genannt. Eine vollständige Permutation ist der Sonderfall, in dem du alle Elemente anordnest: k = n. AB und BA sind verschiedene geordnete Auswahlen, aber dieselbe Kombination.
Die Fakultät n! multipliziert die ganzen Zahlen von 1 bis n: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Ohne Wiederholung entfernt die Division der geordneten Anzahl durch k! die verschiedenen Reihenfolgen derselben Gruppe. Die Berechnung verwendet exakte ganze Zahlen; die wissenschaftliche Größenordnung neben einem großen Ergebnis ist dagegen ein Näherungswert.
So verwenden Sie dieses Tool
Auswahl festlegen
Gib die Anzahl verfügbarer Elemente n und den Umfang der Auswahl k ein.
Wiederholung einstellen
Erlaube Wiederholung nur, wenn jedes Element nach der Auswahl weiter verfügbar bleibt.
Ergebnisse vergleichen
Nutze Kombinationen, wenn die Reihenfolge egal ist, oder geordnete Auswahlen, wenn jede Position zählt.
Die Formel nach Reihenfolge und Wiederholung wählen
Ohne Reihenfolge, ohne Wiederholung
C(n,k) = n! / (k! (n−k)!)
Wähle ein Gremium aus k von n Personen, ohne Rollen zu vergeben. Dieser Ausdruck setzt 0 ≤ k ≤ n voraus.
Mit Reihenfolge, ohne Wiederholung
P(n,k) = n! / (n−k)!
Vergib k verschiedene Plätze unter n Kandidaten, wobei jeder höchstens einen Platz erhält.
Ohne Reihenfolge, mit Wiederholung
C(n+k−1,k)
Wähle für n ≥ 1 insgesamt k Elemente aus n unbegrenzt verfügbaren Typen. AAB und ABA sind dabei dieselbe Auswahl.
Mit Reihenfolge, mit Wiederholung
n^k
Besetze k Positionen mit jeweils n verfügbaren Symbolen. AAB und ABA sind dabei zwei verschiedene Folgen.
- n
- Anzahl unterscheidbarer Elemente oder verfügbarer Typen.
- k
- Anzahl gewählter Elemente oder zu besetzender Positionen.
Anwendungsfälle
Ausschuss auswählen
Zähle mögliche Teams, wenn ein Tausch der Mitglieder die gewählte Gruppe nicht verändert.
Plätze vergeben
Zähle Podien oder unterschiedliche Rollen, bei denen ein Personentausch das Ergebnis verändert.
Code zusammenstellen
Zähle Zeichenfolgen, in denen jedes verfügbare Zeichen mehrfach vorkommen darf.
Beispiele
Ein Gremium oder ein Podium aus fünf Personen
Für ein Gremium aus drei Personen gibt es 10 Gruppen. Die Vergabe von Gold, Silber und Bronze ergibt 60 Rangfolgen: Jede der 10 Gruppen lässt 3! = 6 Reihenfolgen zu. Die Einstellungen bleiben gleich; entscheidend ist, welches Ergebnis du verwendest.
Eingabe
n = 5
k = 3
Wiederholung: neinErgebnis
Kombinationen: 10
Geordnete Auswahlen: 60Zwei Buchstaben aus A, B und C mit Wiederholung
Ohne Reihenfolge gibt es AA, AB, AC, BB, BC und CC. Zählt jede Position, kommen BA, CA und CB hinzu. Damit gibt es 3 × 3 = 9 Folgen, aber nur sechs Gruppen mit Wiederholung.
Eingabe
n = 3
k = 2
Wiederholung: jaErgebnis
Kombinationen: 6
Geordnete Auswahlen: 9Ein vierstelliger Zifferncode
Bei einem Code zählt die Reihenfolge: Verwende 10 000, einschließlich 0000 und Codes mit führender Null. Gilt für die erste Ziffer eine andere Einschränkung, stehen nicht mehr an jeder Position dieselben Möglichkeiten zur Verfügung. Diese Einstellungen allein reichen dann nicht aus.
Eingabe
n = 10
k = 4
Wiederholung: jaErgebnis
Kombinationen: 715
Geordnete Auswahlen: 10 000Tipps und bewährte Vorgehensweisen
- Gib ganze Zahlen von 0 bis 1 000 ein. Ohne Wiederholung ergibt die Auswahl von mehr Elementen als vorhanden null Möglichkeiten.
- Bedingungen wie „mindestens ein Vokal“ oder „diese zwei Personen dürfen nicht zusammen sein“ erfordern zusätzliche Überlegungen. Sie lassen sich nicht aus n und k ableiten.
- Verwechsle bei einer festen Sammlung mit Duplikaten, etwa den Buchstaben eines Wortes, identische Objekte nicht mit der Erlaubnis, ein Element erneut zu wählen.
Quellen und Referenzen
- Precalculus 2e — Counting Principles (öffnet in einem neuen Tab), OpenStaxSeite auf Englisch
- Eric W. Weisstein, Multichoose (öffnet in einem neuen Tab), Wolfram MathWorldSeite auf Englisch
Häufig gestellte Fragen
Wann zählt die Reihenfolge?
Wenn ein Tausch zweier Elemente das Ergebnis verändert, zählt die Reihenfolge: ABC und BAC sind verschieden. Bei einem Team mit denselben Personen handelt es sich dagegen um dieselbe Kombination.
Warum zählt die leere Auswahl als eine?
Es gibt genau eine Möglichkeit, nichts auszuwählen: die leere Auswahl. Dazu passt auch 0! = 1.
Kann ich alle Gruppen auflisten?
Nein. Der Rechner bestimmt nur ihre Anzahl; eine vollständige Auflistung wird schnell wesentlich aufwendiger.
Bedeutet Wiederholung, dass einige Ausgangselemente identisch sind?
Nein. Du darfst dasselbe Element erneut auswählen. Anordnungen einer festen Sammlung mit vorgegebenen Duplikaten sind ein anderes Zählproblem.
Kann ich das Ergebnis als Wahrscheinlichkeit verwenden?
Das Ergebnis zählt Möglichkeiten. Für eine Wahrscheinlichkeit musst du außerdem günstige Fälle festlegen und prüfen, ob die verglichenen Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Eine große Anzahl von Kombinationen allein sagt nichts über die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses aus.
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