Base et hauteur
A = b × h ÷ 2
La hauteur est perpendiculaire à la base.
Calcul de l’aire d’un triangle (base, 3 côtés ou angle)
Calculez l’aire de n’importe quel triangle selon les données connues : base × hauteur ÷ 2, trois côtés avec la formule de Héron, ou deux côtés et l’angle compris (½ab sin C). Formules expliquées, exemples résolus (pignon, terrain) et unités au choix.
Aire
-
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Comment fonctionne cet outil ?
Ce calculateur donne l’aire d’un triangle quelle que soit l’information dont vous disposez : une base et la hauteur correspondante, les trois côtés, ou deux côtés et l’angle qu’ils forment. Il couvre les exercices du collège comme les besoins concrets : surface d’un pignon à enduire, d’une voile, d’un terrain triangulaire relevé au décamètre ou d’une pente de toit.
Base et hauteur : A = b × h ÷ 2. La hauteur est la distance perpendiculaire entre la base et le sommet opposé, pas la longueur d’un côté incliné. Tout triangle est la moitié d’un parallélogramme de même base et de même hauteur, d’où la division par deux.
Trois côtés : l’outil applique la formule de Héron. Il calcule le demi-périmètre s = (a + b + c) ÷ 2, puis A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Cette méthode est idéale sur le terrain, où l’on mesure facilement les côtés mais rarement une hauteur. Les trois longueurs doivent respecter l’inégalité triangulaire : chaque côté doit être plus court que la somme des deux autres, sinon aucun triangle n’existe et aucun résultat ne s’affiche.
Deux côtés et l’angle compris : A = ½ × a × b × sin C, où C est l’angle situé entre les côtés a et b. L’angle peut être saisi en degrés, en radians ou en grades ; il doit être strictement compris entre 0 et 180°. Avec un angle droit, sin 90° = 1 et l’on retrouve la moitié du produit des deux côtés de l’angle droit.
Le résultat est exprimé dans le carré de l’unité du premier champ de longueur. Les trois méthodes donnent la même aire pour un même triangle : c’est un bon moyen de contrôler un calcul fait à la main.
Comment utiliser cet outil ?
Choisissez la méthode
Base + hauteur, Trois côtés ou Deux côtés + angle compris, selon les données disponibles.
Saisissez les mesures
Chaque longueur a son unité ; l’angle se saisit en degrés, radians ou grades.
Lisez l’aire
Elle s’affiche en unités carrées dès que les valeurs forment un triangle valide.
Les trois formules de l’aire d’un triangle
Chaque formule correspond à un jeu de données ; elles donnent le même résultat pour un même triangle.
Formule de Héron
A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), avec s = (a + b + c) ÷ 2
À partir des trois côtés, via le demi-périmètre s.
Deux côtés et angle compris
A = ½ × a × b × sin C
C est l’angle formé par les côtés a et b.
Triangle équilatéral
A = (√3 ÷ 4) × a²
Cas particulier où les trois côtés sont égaux.
- A
- aire, en unités carrées
- b, h
- base et hauteur relative à cette base
- a, b, c
- longueurs des trois côtés
- s
- demi-périmètre
- C
- angle compris entre les côtés a et b
Exemple : b = 10 m et h = 4 m, A = 10 × 4 ÷ 2 = 20 m².
Cas d'utilisation
Collège et lycée
Vérifier une aire avec la hauteur, s’entraîner à la formule de Héron ou à la formule trigonométrique ½ab sin C.
Bâtiment et toiture
Calculer la surface d’un pignon, d’une croupe ou d’un versant triangulaire pour l’enduit, l’isolant ou la couverture.
Topographie et terrain
Obtenir la surface d’une parcelle triangulaire à partir des trois côtés mesurés, ou découper un terrain irrégulier en triangles.
Loisirs et fabrication
Estimer la surface d’une voile d’ombrage, d’un fanion, d’une pièce de tissu ou de contreplaqué.
Exemples
Base et hauteur
8 × 5 ÷ 2 = 20 cm².
Entrée
b = 8 cm, h = 5 cmRésultat
A = 20 cm²Triangle 3-4-5 (Héron)
s = 6, A = √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6 cm² ; c’est un triangle rectangle.
Entrée
a = 3, b = 4, c = 5 cmRésultat
A = 6 cm²Trois côtés quelconques
s = 12, A = √(12 × 5 × 4 × 3) = √720 ≈ 26,83 m².
Entrée
a = 7, b = 8, c = 9 mRésultat
A ≈ 26,83 m²Deux côtés et l’angle
½ × 6 × 8 × sin 30° = 24 × 0,5 = 12 m².
Entrée
a = 6 m, b = 8 m, C = 30°Résultat
A = 12 m²Pignon de maison
Surface triangulaire à enduire ou à bardager au-dessus du rectangle du mur.
Entrée
base 8 m, hauteur sous faîtage 3 mRésultat
A = 12 m²Terrain triangulaire
Héron : s = 60, A = √(60 × 30 × 20 × 10) = √360 000 = 600 m², soit 6 ares.
Entrée
côtés de 30, 40 et 50 mRésultat
A = 600 m²Conseils et bonnes pratiques
- La hauteur doit être perpendiculaire à la base choisie : dans un triangle obtus, elle peut tomber à l’extérieur du triangle.
- Si vous ne connaissez pas la hauteur, mesurez les trois côtés et utilisez la méthode Héron.
- Avec deux côtés et un angle, l’angle doit être celui compris entre ces deux côtés, sinon le résultat est faux.
- Un polygone quelconque peut être découpé en triangles : additionnez ensuite leurs aires.
- Si aucun résultat n’apparaît avec trois côtés, vérifiez l’inégalité triangulaire : le plus grand côté doit être plus court que la somme des deux autres.
Sources et références
- Weisstein E.W., Triangle Area (s’ouvre dans un nouvel onglet), Wolfram MathWorldPage en anglais
- Weisstein E.W., Heron's Formula (s’ouvre dans un nouvel onglet), Wolfram MathWorldPage en anglais
- Programme de mathématiques pour le cycle 4 (annexe 2) (s’ouvre dans un nouvel onglet), Ministère de l’Éducation nationalePage en français
Questions fréquentes
Quelle est la formule de l’aire d’un triangle ?
La formule de base est A = base × hauteur ÷ 2. Sans hauteur, on utilise la formule de Héron avec les trois côtés, ou A = ½ × a × b × sin C avec deux côtés et l’angle compris.
Comment calculer l’aire d’un triangle avec seulement les trois côtés ?
Calculez le demi-périmètre s = (a + b + c) ÷ 2, puis A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). C’est la formule de Héron, choisissez l’onglet Trois côtés pour l’appliquer automatiquement.
Comment calculer l’aire d’un triangle rectangle ?
Les deux côtés de l’angle droit jouent le rôle de base et de hauteur : A = a × b ÷ 2. Pour 6 cm et 8 cm, l’aire vaut 24 cm².
Comment trouver la hauteur d’un triangle à partir de son aire ?
Inversez la formule : h = 2 × A ÷ b. Un triangle de 30 cm² et de 12 cm de base a une hauteur de 5 cm.
Pourquoi l’outil n’affiche-t-il rien avec mes trois côtés ?
Les longueurs ne forment pas un triangle : le plus grand côté est supérieur ou égal à la somme des deux autres. Par exemple, 2, 3 et 6 cm ne peuvent pas se refermer.
Quelle est l’aire d’un triangle équilatéral ?
Pour un côté a, A = (√3 ÷ 4) × a² ≈ 0,433 × a². Un triangle équilatéral de 10 cm de côté couvre environ 43,30 cm² ; la méthode Trois côtés donne le même résultat.
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