Grundseite und Höhe
A = b × h ÷ 2
Die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite.
Dreiecksfläche berechnen: Grundseite, 3 Seiten oder Winkel
Berechne den Flächeninhalt jedes beliebigen Dreiecks mit den Werten, die du kennst: Grundseite × Höhe ÷ 2, drei Seiten mit der Heronschen Formel oder zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (½ab sin γ). Mit erklärten Formeln, Rechenbeispielen (Giebel, Grundstück) und frei wählbaren Einheiten.
Fläche
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Wie funktioniert dieses Tool?
Dieser Rechner liefert dir den Flächeninhalt eines Dreiecks, egal welche Angaben du hast: eine Grundseite und die zugehörige Höhe, alle drei Seiten oder zwei Seiten und den Winkel dazwischen. Er deckt Aufgaben aus der Mittel- und Oberstufe ebenso ab wie praktische Fragen: die Fläche eines zu verputzenden Giebels, eines Sonnensegels, eines mit dem Maßband vermessenen dreieckigen Grundstücks oder einer Dachfläche.
Grundseite und Höhe: A = g × h ÷ 2. Die Höhe ist der senkrechte Abstand zwischen der Grundseite und der gegenüberliegenden Ecke, nicht die Länge einer schrägen Seite. Jedes Dreieck ist die Hälfte eines Parallelogramms mit gleicher Grundseite und gleicher Höhe, daher die Division durch zwei.
Drei Seiten: Das Werkzeug wendet die Heronsche Formel an. Es berechnet den halben Umfang s = (a + b + c) ÷ 2 und dann A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Diese Methode ist ideal im Gelände, wo sich Seiten leicht messen lassen, eine Höhe aber kaum. Die drei Längen müssen die Dreiecksungleichung erfüllen: Jede Seite muss kürzer sein als die Summe der beiden anderen, sonst gibt es kein Dreieck und es erscheint kein Ergebnis.
Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel: A = ½ × a × b × sin γ, wobei γ der Winkel zwischen den Seiten a und b ist. Den Winkel kannst du in Grad, Radiant oder Gon eingeben; er muss echt zwischen 0 und 180° liegen. Bei einem rechten Winkel ist sin 90° = 1, und du erhältst das halbe Produkt der beiden Katheten.
Das Ergebnis steht in der Quadrateinheit des ersten Längenfelds. Alle drei Methoden liefern für dasselbe Dreieck dieselbe Fläche: eine gute Möglichkeit, eine Rechnung von Hand zu überprüfen.
So verwenden Sie dieses Tool
Methode wählen
Grundseite + Höhe, Drei Seiten oder Zwei Seiten + eingeschlossener Winkel, je nach vorhandenen Angaben.
Maße eingeben
Jede Länge hat ihre eigene Einheit; den Winkel gibst du in Grad, Radiant oder Gon ein.
Fläche ablesen
Sie erscheint in Quadrateinheiten, sobald die Werte ein gültiges Dreieck ergeben.
Die drei Formeln für die Dreiecksfläche
Jede Formel passt zu einer anderen Kombination von Angaben; für dasselbe Dreieck liefern alle dasselbe Ergebnis.
Heronsche Formel
A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), mit s = (a + b + c) ÷ 2
Aus den drei Seiten, über den halben Umfang s.
Zwei Seiten und eingeschlossener Winkel
A = ½ × a × b × sin C
C ist der Winkel zwischen den Seiten a und b.
Gleichseitiges Dreieck
A = (√3 ÷ 4) × a²
Sonderfall mit drei gleich langen Seiten.
- A
- Flächeninhalt in Quadrateinheiten
- b, h
- Grundseite und zugehörige Höhe (im Schulbuch oft g und h)
- a, b, c
- Längen der drei Seiten
- s
- halber Umfang
- C
- Winkel zwischen den Seiten a und b (im Schulbuch meist γ)
Beispiel: Grundseite 10 m und Höhe 4 m, A = 10 × 4 ÷ 2 = 20 m².
Anwendungsfälle
Mittel- und Oberstufe
Flächen mit der Höhe nachrechnen, die Heronsche Formel oder die trigonometrische Flächenformel ½ab sin γ üben.
Bau und Dach
Die Fläche eines Giebels, eines Walms oder einer dreieckigen Dachfläche für Putz, Dämmung oder Eindeckung berechnen.
Vermessung und Grundstück
Die Fläche eines dreieckigen Flurstücks aus den drei gemessenen Seiten bestimmen oder ein unregelmäßiges Grundstück in Dreiecke zerlegen.
Freizeit und Werkstatt
Die Fläche eines Sonnensegels, eines Wimpels, eines Stoffzuschnitts oder einer Sperrholzplatte abschätzen.
Beispiele
Grundseite und Höhe
8 × 5 ÷ 2 = 20 cm².
Eingabe
g = 8 cm, h = 5 cmErgebnis
A = 20 cm²3-4-5-Dreieck (Heron)
s = 6, A = √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6 cm²; es ist ein rechtwinkliges Dreieck.
Eingabe
a = 3, b = 4, c = 5 cmErgebnis
A = 6 cm²Drei beliebige Seiten
s = 12, A = √(12 × 5 × 4 × 3) = √720 ≈ 26,83 m².
Eingabe
a = 7, b = 8, c = 9 mErgebnis
A ≈ 26,83 m²Zwei Seiten und Winkel
½ × 6 × 8 × sin 30° = 24 × 0,5 = 12 m².
Eingabe
a = 6 m, b = 8 m, γ = 30°Ergebnis
A = 12 m²Hausgiebel
Die dreieckige Fläche oberhalb der rechteckigen Wand, die verputzt oder verkleidet werden soll.
Eingabe
Grundseite 8 m, Höhe bis zum First 3 mErgebnis
A = 12 m²Dreieckiges Grundstück
Heron: s = 60, A = √(60 × 30 × 20 × 10) = √360.000 = 600 m², also 6 Ar.
Eingabe
Seiten 30, 40 und 50 mErgebnis
A = 600 m²Tipps und bewährte Vorgehensweisen
- Die Höhe muss senkrecht auf der gewählten Grundseite stehen: Bei einem stumpfwinkligen Dreieck kann sie außerhalb des Dreiecks liegen.
- Kennst du die Höhe nicht, miss die drei Seiten und nutze die Methode nach Heron.
- Bei zwei Seiten und einem Winkel muss es der Winkel zwischen genau diesen beiden Seiten sein, sonst stimmt das Ergebnis nicht.
- Jedes Vieleck lässt sich in Dreiecke zerlegen: Addiere anschließend deren Flächen.
- Erscheint mit drei Seiten kein Ergebnis, prüfe die Dreiecksungleichung: Die längste Seite muss kürzer sein als die Summe der beiden anderen.
Quellen und Referenzen
- Weisstein E.W., Triangle Area (öffnet in einem neuen Tab), Wolfram MathWorldSeite auf Englisch
- Weisstein E.W., Heron's Formula (öffnet in einem neuen Tab), Wolfram MathWorldSeite auf Englisch
- Programme de mathématiques pour le cycle 4 (annexe 2) (öffnet in einem neuen Tab), Ministère de l’Éducation nationaleSeite auf Französisch
Häufig gestellte Fragen
Wie lautet die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks?
Die Grundformel ist A = Grundseite × Höhe ÷ 2. Ohne Höhe nutzt du die Heronsche Formel mit den drei Seiten oder A = ½ × a × b × sin γ mit zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel.
Wie berechne ich die Dreiecksfläche, wenn ich nur die drei Seiten kenne?
Berechne den halben Umfang s = (a + b + c) ÷ 2 und dann A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Das ist die Heronsche Formel; wähle den Reiter Drei Seiten, um sie automatisch anzuwenden.
Wie berechne ich die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks?
Die beiden Katheten übernehmen die Rolle von Grundseite und Höhe: A = a × b ÷ 2. Bei 6 cm und 8 cm beträgt die Fläche 24 cm².
Wie berechne ich die Höhe eines Dreiecks aus der Fläche?
Stell die Formel um: h = 2 × A ÷ g. Ein Dreieck mit 30 cm² Fläche und 12 cm Grundseite hat eine Höhe von 5 cm.
Warum zeigt das Werkzeug mit meinen drei Seiten nichts an?
Die Längen ergeben kein Dreieck: Die längste Seite ist mindestens so lang wie die Summe der beiden anderen. Mit 2, 3 und 6 cm zum Beispiel lässt sich kein Dreieck schließen.
Wie groß ist die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks?
Bei der Seitenlänge a gilt A = (√3 ÷ 4) × a² ≈ 0,433 × a². Ein gleichseitiges Dreieck mit 10 cm Seitenlänge bedeckt etwa 43,30 cm²; die Methode Drei Seiten liefert dasselbe Ergebnis.
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