Base e altura
A = b × h ÷ 2
A altura é perpendicular à base.
Cálculo da área do triângulo (base, 3 lados ou ângulo)
Calcule a área de qualquer triângulo conforme os dados que tem: base × altura ÷ 2, três lados com a fórmula de Heron, ou dois lados e o ângulo compreendido (½ab sen C). Fórmulas explicadas, exemplos resolvidos (empena, terreno) e unidades à escolha.
Área
-
Esta ferramenta foi útil?
Como funciona esta ferramenta?
Esta calculadora dá a área de um triângulo seja qual for a informação de que dispõe: uma base e a altura correspondente, os três lados, ou dois lados e o ângulo que formam. Cobre os exercícios escolares e as necessidades concretas: superfície de uma empena a rebocar, de uma vela, de um terreno triangular medido à fita ou de uma água de telhado.
Base e altura: A = b × h ÷ 2. A altura é a distância perpendicular entre a base e o vértice oposto, e não o comprimento de um lado inclinado. Qualquer triângulo é metade de um paralelogramo com a mesma base e a mesma altura, daí a divisão por dois.
Três lados: a ferramenta aplica a fórmula de Heron. Calcula o semiperímetro s = (a + b + c) ÷ 2 e depois A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Este método é ideal no terreno, onde é fácil medir os lados mas raramente uma altura. Os três comprimentos têm de respeitar a desigualdade triangular: cada lado tem de ser menor do que a soma dos outros dois; caso contrário, o triângulo não existe e não aparece nenhum resultado.
Dois lados e o ângulo compreendido: A = ½ × a × b × sen C, em que C é o ângulo situado entre os lados a e b. O ângulo pode ser introduzido em graus, radianos ou grados e tem de estar estritamente entre 0 e 180°. Com um ângulo reto, sen 90° = 1 e obtém-se metade do produto dos dois catetos.
O resultado vem no quadrado da unidade do primeiro campo de comprimento. Os três métodos dão a mesma área para o mesmo triângulo: é uma boa forma de confirmar um cálculo feito à mão.
Como usar esta ferramenta
Escolha o método
Base + altura, Três lados ou Dois lados + ângulo compreendido, conforme os dados disponíveis.
Introduza as medidas
Cada comprimento tem a sua unidade; o ângulo introduz-se em graus, radianos ou grados.
Leia a área
Aparece em unidades quadradas assim que os valores formam um triângulo válido.
As três fórmulas da área do triângulo
Cada fórmula corresponde a um conjunto de dados; todas dão o mesmo resultado para o mesmo triângulo.
Fórmula de Heron
A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), com s = (a + b + c) ÷ 2
A partir dos três lados, através do semiperímetro s.
Dois lados e ângulo compreendido
A = ½ × a × b × sen C
C é o ângulo formado pelos lados a e b.
Triângulo equilátero
A = (√3 ÷ 4) × a²
Caso particular em que os três lados são iguais.
- A
- área, em unidades quadradas
- b, h
- base e altura relativa a essa base
- a, b, c
- comprimentos dos três lados
- s
- semiperímetro
- C
- ângulo compreendido entre os lados a e b
Exemplo: b = 10 m e h = 4 m, A = 10 × 4 ÷ 2 = 20 m².
Casos de uso
Ensino básico e secundário
Confirmar uma área com a altura, treinar a fórmula de Heron ou a fórmula trigonométrica ½ab sen C.
Construção e telhados
Calcular a superfície de uma empena, de uma tacaniça ou de uma água triangular para o reboco, o isolamento ou a cobertura.
Topografia e terrenos
Obter a área de um lote triangular a partir dos três lados medidos, ou dividir um terreno irregular em triângulos.
Lazer e fabrico
Estimar a superfície de uma vela de sombreamento, de uma bandeirola, de uma peça de tecido ou de contraplacado.
Exemplos
Base e altura
8 × 5 ÷ 2 = 20 cm².
Entrada
b = 8 cm, h = 5 cmResultado
A = 20 cm²Triângulo 3-4-5 (Heron)
s = 6, A = √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6 cm²; é um triângulo retângulo.
Entrada
a = 3, b = 4, c = 5 cmResultado
A = 6 cm²Três lados quaisquer
s = 12, A = √(12 × 5 × 4 × 3) = √720 ≈ 26,83 m².
Entrada
a = 7, b = 8, c = 9 mResultado
A ≈ 26,83 m²Dois lados e o ângulo
½ × 6 × 8 × sen 30° = 24 × 0,5 = 12 m².
Entrada
a = 6 m, b = 8 m, C = 30°Resultado
A = 12 m²Empena de uma casa
Superfície triangular a rebocar ou a revestir acima do retângulo da parede.
Entrada
base de 8 m, altura até à cumeeira de 3 mResultado
A = 12 m²Terreno triangular
Heron: s = 60, A = √(60 × 30 × 20 × 10) = √360.000 = 600 m², ou seja, 6 ares.
Entrada
lados de 30, 40 e 50 mResultado
A = 600 m²Dicas e boas práticas
- A altura tem de ser perpendicular à base escolhida: num triângulo obtusângulo, pode cair fora do triângulo.
- Se não souber a altura, meça os três lados e use o método de Heron.
- Com dois lados e um ângulo, o ângulo tem de ser o que fica entre esses dois lados; caso contrário, o resultado está errado.
- Qualquer polígono pode ser dividido em triângulos: depois, basta somar as áreas.
- Se não aparecer nenhum resultado com três lados, verifique a desigualdade triangular: o lado maior tem de ser menor do que a soma dos outros dois.
Fontes e referências
- Weisstein E.W., Triangle Area (abre num novo separador), Wolfram MathWorldPágina em inglês
- Weisstein E.W., Heron's Formula (abre num novo separador), Wolfram MathWorldPágina em inglês
- Programme de mathématiques pour le cycle 4 (annexe 2) (abre num novo separador), Ministère de l’Éducation nationalePágina em francês
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula da área do triângulo?
A fórmula base é A = base × altura ÷ 2. Sem a altura, usa-se a fórmula de Heron com os três lados, ou A = ½ × a × b × sen C com dois lados e o ângulo compreendido.
Como calcular a área de um triângulo só com os três lados?
Calcule o semiperímetro s = (a + b + c) ÷ 2 e depois A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). É a fórmula de Heron; escolha o separador Três lados para a aplicar automaticamente.
Como calcular a área de um triângulo retângulo?
Os dois catetos fazem de base e de altura: A = a × b ÷ 2. Com 6 cm e 8 cm, a área é de 24 cm².
Como encontrar a altura de um triângulo a partir da área?
Inverta a fórmula: h = 2 × A ÷ b. Um triângulo com 30 cm² e 12 cm de base tem 5 cm de altura.
Porque é que a ferramenta não mostra nada com os meus três lados?
Os comprimentos não formam um triângulo: o lado maior é igual ou superior à soma dos outros dois. Por exemplo, 2, 3 e 6 cm não conseguem fechar-se.
Qual é a área de um triângulo equilátero?
Para um lado a, A = (√3 ÷ 4) × a² ≈ 0,433 × a². Um triângulo equilátero com 10 cm de lado ocupa cerca de 43,30 cm²; o método Três lados dá o mesmo resultado.
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