Calcolatore di MCD e mcm con passaggi
Trova il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo di 2–20 numeri interi, con le divisioni successive di Euclide e le scomposizioni in numeri primi.
Da 2 a 20 interi, separati da virgole, punti e virgola o spazi.
Il MCD è 1: questi numeri sono primi tra loro (coprimi). Una frazione formata da due di essi è quindi ridotta ai minimi termini.
Algoritmo di Euclide
Scomposizione in fattori primi
Questo strumento ti è stato utile?
Come funziona questo strumento?
Questo calcolatore determina il MCD (massimo comun divisore) e il mcm (minimo comune multiplo) di due fino a venti numeri interi. Mostra le divisioni successive dell’algoritmo di Euclide e la scomposizione di ogni numero in fattori primi, per capire il risultato e ricopiarlo nel quaderno. I calcoli sono esatti, anche con numeri di diverse decine di cifre.
Il MCD di più interi è il più grande intero che li divide tutti. Il mcm è il più piccolo intero strettamente positivo che è multiplo di ciascuno di essi. Per esempio, MCD(12; 18) = 6 e mcm(12; 18) = 36.
L’algoritmo di Euclide si basa su una proprietà semplice: il MCD di a e b è uguale al MCD di b e del resto della divisione di a per b. Si sostituisce quindi la coppia (a; b) con (b; r) finché non si ottiene un resto nullo; l’ultimo resto non nullo è il MCD. Il metodo compare già negli Elementi di Euclide, libro VII, ed è ancora oggi uno dei più rapidi conosciuti.
Per più di due numeri si applica il calcolo a coppie successive: MCD(a; b; c) = MCD(MCD(a; b); c). Lo stesso vale per il mcm.
La scomposizione in fattori primi offre un secondo metodo: il MCD è il prodotto dei fattori primi comuni a tutti i numeri, ciascuno con il suo minimo esponente, e il mcm il prodotto di tutti i fattori primi incontrati, ciascuno con il suo massimo esponente. Per due numeri, il prodotto a × b è sempre uguale a MCD × mcm.
Due numeri il cui MCD è 1 si dicono primi tra loro (o coprimi): non hanno alcun divisore comune diverso da 1, anche se non sono primi essi stessi (8 e 15, per esempio).
Come usare questo strumento
Inserisci i numeri
Digita da 2 a 20 interi separati da virgole, punti e virgola o spazi.
Leggi il MCD e il mcm
I due risultati compaiono subito, con un’indicazione se i numeri sono primi tra loro.
Segui le divisioni di Euclide
Ogni riga a = q × b + r mostra una divisione con resto fino al resto nullo.
Confronta con i fattori primi
La scomposizione di ogni numero, del MCD e del mcm permette di verificare il calcolo con un secondo metodo.
Formule del MCD e del mcm
Proprietà di Euclide
MCD(a; b) = MCD(b; r), dove a = q × b + r e 0 ≤ r < b
Relazione tra MCD e mcm
MCD(a; b) × mcm(a; b) = a × b
Più numeri
MCD(a; b; c) = MCD(MCD(a; b); c)
Con i fattori primi
MCD = ∏ p^min(esponenti) ; mcm = ∏ p^max(esponenti)
- a, b, c
- interi in esame
- q, r
- quoziente e resto della divisione di a per b
- p
- numero primo presente in una scomposizione
Casi d’uso
Semplificare una frazione
Dividere numeratore e denominatore per il loro MCD dà direttamente la frazione ridotta ai minimi termini.
Sommare frazioni
Il mcm dei denominatori è il minimo comune denominatore.
Problemi di suddivisione e di calendario
Il MCD risponde alle domande sulla suddivisione massima in parti uguali, il mcm a quelle su eventi che si ripresentano insieme (due autobus, due ingranaggi, due luci intermittenti).
Aritmetica e informatica
Il MCD serve a verificare che due numeri siano primi tra loro, concetto usato in crittografia (RSA) e nella teoria dei numeri.
Esempi
MCD di due numeri
252 = 2 × 105 + 42, poi 105 = 2 × 42 + 21, poi 42 = 2 × 21 + 0: l’ultimo resto non nullo è 21.
Input
252 e 105Risultato
MCD = 21mcm per un denominatore comune
6 = 2 × 3, 8 = 2³ e 10 = 2 × 5: mcm = 2³ × 3 × 5 = 120, il minimo comune denominatore di 1/6, 1/8 e 1/10.
Input
6, 8 e 10Risultato
mcm = 120Numeri primi tra loro
Nessun fattore primo in comune: il loro mcm è semplicemente il loro prodotto.
Input
8 e 15Risultato
MCD = 1, mcm = 120Problema di suddivisione
Con 84 biglie rosse, 126 blu e 210 verdi, si possono preparare al massimo 42 sacchetti identici da 2 rosse, 3 blu e 5 verdi.
Input
84, 126 e 210Risultato
MCD = 42Consigli e buone pratiche
- Il MCD è sempre minore o uguale al più piccolo dei numeri, e il mcm sempre maggiore o uguale al più grande.
- Se un numero divide tutti gli altri, è il loro MCD; se un numero è multiplo di tutti gli altri, è il loro mcm.
- Per due numeri, calcola il mcm a partire dal MCD: mcm(a; b) = a × b ÷ MCD(a; b).
- I segni non hanno influenza: il MCD e il mcm sono forniti per i valori assoluti dei numeri inseriti.
- Se tra i numeri c’è lo 0, il MCD è quello degli altri numeri e il mcm vale 0.
Fonti e riferimenti
- Weisstein E.W., Greatest Common Divisor (si apre in una nuova scheda), Wolfram MathWorldPagina in inglese
- Weisstein E.W., Least Common Multiple (si apre in una nuova scheda), Wolfram MathWorldPagina in inglese
- Weisstein E.W., Euclidean Algorithm (si apre in una nuova scheda), Wolfram MathWorldPagina in inglese
- Euclid, ed. D.E. Joyce, Elements, Book VII, Proposition 2 (si apre in una nuova scheda), Clark UniversityPagina in inglese
- Weisstein E.W., Prime Factorization (si apre in una nuova scheda), Wolfram MathWorldPagina in inglese
Domande frequenti
Come si calcola il MCD di due numeri?
Con l’algoritmo di Euclide: dividi il numero maggiore per il minore, sostituisci la coppia con (divisore; resto) e ricomincia fino a ottenere un resto nullo. L’ultimo resto non nullo è il MCD. Esempio: 252 = 2 × 105 + 42, 105 = 2 × 42 + 21, 42 = 2 × 21 + 0, quindi MCD(252; 105) = 21.
Come si calcola il mcm di due numeri?
Il metodo più rapido è usare la relazione mcm(a; b) = a × b ÷ MCD(a; b). Per 12 e 18: 12 × 18 = 216 e 216 ÷ 6 = 36. Si possono anche prendere tutti i fattori primi con il massimo esponente: 12 = 2² × 3 e 18 = 2 × 3², quindi mcm = 2² × 3² = 36.
Qual è la differenza tra MCD e mcm?
Il MCD è il massimo divisore comune: è minore dei numeri di partenza e serve a suddividere o a semplificare. Il mcm è il minimo multiplo comune: è maggiore dei numeri di partenza e serve a trovare un denominatore comune o un periodo comune.
Che cosa significa «numeri primi tra loro»?
Due interi sono primi tra loro (coprimi) quando il loro MCD è 1. Possono non essere primi: 8 e 15 sono primi tra loro anche se né 8 né 15 è un numero primo. La frazione 8/15 è quindi ridotta ai minimi termini.
Come si calcola il MCD di tre o più numeri?
Si calcola a coppie successive: MCD(a; b; c) = MCD(MCD(a; b); c). Lo strumento mostra ogni passaggio. Il metodo è lo stesso per il mcm.
Il MCD può essere uguale a uno dei numeri?
Sì, quando quel numero divide tutti gli altri. Per esempio, MCD(15; 45; 60) = 15. Allo stesso modo, il mcm è uguale a uno dei numeri quando questo è multiplo di tutti gli altri.
Fino a quale grandezza di numeri funziona lo strumento?
Il MCD e il mcm sono calcolati in modo esatto qualunque sia la grandezza dei numeri. La scomposizione in fattori primi viene mostrata fino a 10¹⁵; oltre, sarebbe troppo lenta da calcolare nel browser.
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