Calculadora de MDC e MMC com passo a passo
Encontre o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de 2 a 20 números inteiros, com as divisões sucessivas de Euclides e as decomposições em números primos.
De 2 a 20 números inteiros, separados por vírgulas, pontos e vírgulas ou espaços.
O MDC é 1: estes números são primos entre si. Uma fração formada por dois deles é, por isso, irredutível.
Algoritmo de Euclides
Decomposição em fatores primos
Esta ferramenta foi útil?
Como funciona esta ferramenta?
Esta calculadora determina o MDC (máximo divisor comum) e o MMC (mínimo múltiplo comum) de dois a vinte números inteiros. Mostra as divisões sucessivas do algoritmo de Euclides e a decomposição de cada número em fatores primos, para perceber o resultado e copiá-lo para um exercício. Os cálculos são exatos, mesmo com números de várias dezenas de algarismos.
O MDC de vários números inteiros é o maior número inteiro que os divide a todos. O MMC é o menor número inteiro estritamente positivo que é múltiplo de cada um deles. Por exemplo, MDC(12; 18) = 6 e MMC(12; 18) = 36.
O algoritmo de Euclides assenta numa propriedade simples: o MDC de a e b é igual ao MDC de b e do resto da divisão inteira de a por b. Substitui-se, assim, o par (a; b) por (b; r) até obter um resto nulo; o último resto não nulo é o MDC. O método já consta dos Elementos de Euclides, livro VII, e continua a ser um dos mais rápidos que se conhecem.
Para mais de dois números, aplica-se o cálculo passo a passo: MDC(a; b; c) = MDC(MDC(a; b); c). O mesmo se faz para o MMC.
A decomposição em fatores primos dá um segundo método: o MDC é o produto dos fatores primos comuns a todos os números, cada um com o menor expoente, e o MMC é o produto de todos os fatores primos encontrados, cada um com o maior expoente. Para dois números, o produto a × b é sempre igual a MDC × MMC.
Dois números cujo MDC é 1 dizem-se primos entre si: não têm nenhum divisor comum além de 1, mesmo que eles próprios não sejam primos (8 e 15, por exemplo).
Como usar esta ferramenta
Introduza os números
Escreva de 2 a 20 números inteiros separados por vírgulas, pontos e vírgulas ou espaços.
Leia o MDC e o MMC
Os dois resultados aparecem de imediato, com uma indicação se os números forem primos entre si.
Acompanhe as divisões de Euclides
Cada linha a = q × b + r mostra uma divisão inteira até ao resto nulo.
Compare com os fatores primos
A decomposição de cada número, do MDC e do MMC permite verificar o cálculo por um segundo método.
Fórmulas do MDC e do MMC
Propriedade de Euclides
MDC(a; b) = MDC(b; r), onde a = q × b + r e 0 ≤ r < b
Relação entre MDC e MMC
MDC(a; b) × MMC(a; b) = a × b
Vários números
MDC(a; b; c) = MDC(MDC(a; b); c)
Pelos fatores primos
MDC = ∏ p^min(expoentes) ; MMC = ∏ p^max(expoentes)
- a, b, c
- números inteiros em estudo
- q, r
- quociente e resto da divisão inteira de a por b
- p
- número primo presente numa decomposição
Casos de uso
Simplificar uma fração
Dividir o numerador e o denominador pelo seu MDC dá diretamente a fração irredutível.
Somar frações
O MMC dos denominadores é o menor denominador comum.
Problemas de partilha e de calendário
O MDC responde às questões de partilha máxima em partes iguais; o MMC às questões de acontecimentos que voltam a coincidir (dois autocarros, duas engrenagens, duas luzes intermitentes).
Aritmética e informática
O MDC serve para verificar se dois números são primos entre si, noção usada na criptografia (RSA) e na teoria dos números.
Exemplos
MDC de dois números
252 = 2 × 105 + 42, depois 105 = 2 × 42 + 21, depois 42 = 2 × 21 + 0: o último resto não nulo é 21.
Entrada
252 e 105Resultado
MDC = 21MMC para um denominador comum
6 = 2 × 3, 8 = 2³ e 10 = 2 × 5: MMC = 2³ × 3 × 5 = 120, o menor denominador comum de 1/6, 1/8 e 1/10.
Entrada
6, 8 e 10Resultado
MMC = 120Números primos entre si
Não há nenhum fator primo comum: o MMC é simplesmente o produto.
Entrada
8 e 15Resultado
MDC = 1, MMC = 120Problema de partilha
Com 84 berlindes vermelhos, 126 azuis e 210 verdes, é possível fazer no máximo 42 saquinhos iguais de 2 vermelhos, 3 azuis e 5 verdes.
Entrada
84, 126 e 210Resultado
MDC = 42Dicas e boas práticas
- O MDC é sempre menor ou igual ao menor dos números, e o MMC sempre maior ou igual ao maior.
- Se um número divide todos os outros, é o seu MDC; se um número é múltiplo de todos os outros, é o seu MMC.
- Para dois números, calcule o MMC a partir do MDC: MMC(a; b) = a × b ÷ MDC(a; b).
- Os sinais não influenciam: o MDC e o MMC são dados para os valores absolutos dos números introduzidos.
- Com 0 entre os números, o MDC é o dos restantes números e o MMC é 0.
Fontes e referências
- Weisstein E.W., Greatest Common Divisor (abre num novo separador), Wolfram MathWorldPágina em inglês
- Weisstein E.W., Least Common Multiple (abre num novo separador), Wolfram MathWorldPágina em inglês
- Weisstein E.W., Euclidean Algorithm (abre num novo separador), Wolfram MathWorldPágina em inglês
- Euclid, ed. D.E. Joyce, Elements, Book VII, Proposition 2 (abre num novo separador), Clark UniversityPágina em inglês
- Weisstein E.W., Prime Factorization (abre num novo separador), Wolfram MathWorldPágina em inglês
Perguntas frequentes
Como calcular o MDC de dois números?
Com o algoritmo de Euclides: divida o maior pelo menor, substitua o par por (divisor; resto) e recomece até obter um resto nulo. O último resto não nulo é o MDC. Exemplo: 252 = 2 × 105 + 42, 105 = 2 × 42 + 21, 42 = 2 × 21 + 0, logo MDC(252; 105) = 21.
Como calcular o MMC de dois números?
O mais rápido é usar a relação MMC(a; b) = a × b ÷ MDC(a; b). Para 12 e 18: 12 × 18 = 216 e 216 ÷ 6 = 36. Também se podem tomar todos os fatores primos com o maior expoente: 12 = 2² × 3 e 18 = 2 × 3², logo MMC = 2² × 3² = 36.
Qual é a diferença entre MDC e MMC?
O MDC é o maior divisor comum: é menor do que os números de partida e serve para partilhar ou simplificar. O MMC é o menor múltiplo comum: é maior do que os números de partida e serve para encontrar um denominador comum ou um período comum.
O que significa «números primos entre si»?
Dois números inteiros são primos entre si quando o seu MDC é 1. Podem não ser primos: 8 e 15 são primos entre si, embora nem 8 nem 15 sejam números primos. A fração 8/15 é, por isso, irredutível.
Como calcular o MDC de três ou mais números?
Calcula-se passo a passo: MDC(a; b; c) = MDC(MDC(a; b); c). A ferramenta mostra cada passo. O método é o mesmo para o MMC.
O MDC pode ser igual a um dos números?
Sim, quando esse número divide todos os outros. Por exemplo, MDC(15; 45; 60) = 15. Do mesmo modo, o MMC é igual a um dos números quando este é múltiplo de todos os outros.
Até que tamanho de números funciona a ferramenta?
O MDC e o MMC são calculados de forma exata, seja qual for o tamanho dos números. A decomposição em fatores primos é apresentada até 10¹⁵; acima disso, seria demasiado lenta a calcular no navegador.
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