ggT und kgV Rechner mit Rechenweg
Finde den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von 2 bis 20 ganzen Zahlen, mit den Divisionsschritten nach Euklid und den Primfaktorzerlegungen.
2 bis 20 ganze Zahlen, getrennt durch Kommas, Semikolons oder Leerzeichen.
Der ggT ist 1: Diese Zahlen sind teilerfremd. Ein Bruch aus zwei dieser Zahlen ist daher bereits gekürzt.
Euklidischer Algorithmus
Primfaktorzerlegung
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Wie funktioniert dieses Tool?
Dieser Rechner bestimmt den ggT (größten gemeinsamen Teiler) und das kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches) von zwei bis zwanzig ganzen Zahlen. Er zeigt die Divisionsschritte des euklidischen Algorithmus und die Primfaktorzerlegung jeder Zahl, damit du das Ergebnis nachvollziehen und in deine Hausaufgabe übernehmen kannst. Die Berechnungen sind exakt, auch bei Zahlen mit mehreren Dutzend Stellen.
Der ggT mehrerer ganzer Zahlen ist die größte ganze Zahl, die alle teilt. Das kgV ist die kleinste positive ganze Zahl, die ein Vielfaches jeder dieser Zahlen ist. Zum Beispiel: ggT(12; 18) = 6 und kgV(12; 18) = 36.
Der euklidische Algorithmus beruht auf einer einfachen Eigenschaft: Der ggT von a und b ist gleich dem ggT von b und dem Rest der Division von a durch b. Man ersetzt also das Paar (a; b) durch (b; r), bis der Rest 0 ist; der letzte Rest ungleich null ist der ggT. Das Verfahren steht bereits in Euklids „Elementen“, Buch VII, und gehört bis heute zu den schnellsten bekannten Methoden.
Bei mehr als zwei Zahlen rechnet man schrittweise: ggT(a; b; c) = ggT(ggT(a; b); c). Für das kgV gilt dasselbe.
Die Primfaktorzerlegung liefert eine zweite Methode: Der ggT ist das Produkt der Primfaktoren, die in allen Zahlen vorkommen, jeweils mit dem kleinsten Exponenten, und das kgV das Produkt aller vorkommenden Primfaktoren, jeweils mit dem größten Exponenten. Für zwei Zahlen gilt immer a × b = ggT × kgV.
Zwei Zahlen mit ggT 1 heißen teilerfremd: Sie haben keinen gemeinsamen Teiler außer 1, auch wenn sie selbst keine Primzahlen sind (zum Beispiel 8 und 15).
So verwenden Sie dieses Tool
Zahlen eingeben
Gib 2 bis 20 ganze Zahlen ein, getrennt durch Kommas, Semikolons oder Leerzeichen.
ggT und kgV ablesen
Beide Ergebnisse erscheinen sofort, mit einem Hinweis, falls die Zahlen teilerfremd sind.
Euklidische Divisionen verfolgen
Jede Zeile a = q × b + r zeigt eine Division mit Rest, bis der Rest 0 ist.
Mit den Primfaktoren vergleichen
Die Zerlegung jeder Zahl, des ggT und des kgV erlaubt es, das Ergebnis mit einer zweiten Methode zu prüfen.
Formeln für ggT und kgV
Eigenschaft nach Euklid
ggT(a; b) = ggT(b; r), wobei a = q × b + r und 0 ≤ r < b
Zusammenhang von ggT und kgV
ggT(a; b) × kgV(a; b) = a × b
Mehrere Zahlen
ggT(a; b; c) = ggT(ggT(a; b); c)
Über die Primfaktoren
ggT = ∏ p^min(Exponenten) ; kgV = ∏ p^max(Exponenten)
- a, b, c
- untersuchte ganze Zahlen
- q, r
- Quotient und Rest der Division von a durch b
- p
- Primzahl, die in einer Zerlegung vorkommt
Anwendungsfälle
Einen Bruch kürzen
Teilst du Zähler und Nenner durch ihren ggT, erhältst du direkt den gekürzten Bruch.
Brüche addieren
Das kgV der Nenner ist der kleinste gemeinsame Nenner (Hauptnenner).
Aufteilungs- und Kalenderaufgaben
Der ggT beantwortet Fragen nach der größtmöglichen gleichen Aufteilung, das kgV Fragen nach Ereignissen, die gleichzeitig wieder eintreten (zwei Buslinien, zwei Zahnräder, zwei blinkende Lichter).
Arithmetik und Informatik
Mit dem ggT prüfst du, ob zwei Zahlen teilerfremd sind – ein Begriff, der in der Kryptografie (RSA) und der Zahlentheorie eine Rolle spielt.
Beispiele
ggT von zwei Zahlen
252 = 2 × 105 + 42, dann 105 = 2 × 42 + 21, dann 42 = 2 × 21 + 0: Der letzte Rest ungleich null ist 21.
Eingabe
252 und 105Ergebnis
ggT = 21kgV für einen gemeinsamen Nenner
6 = 2 × 3, 8 = 2³ und 10 = 2 × 5: kgV = 2³ × 3 × 5 = 120, der kleinste gemeinsame Nenner von 1/6, 1/8 und 1/10.
Eingabe
6, 8 und 10Ergebnis
kgV = 120Teilerfremde Zahlen
Kein gemeinsamer Primfaktor: Ihr kgV ist einfach ihr Produkt.
Eingabe
8 und 15Ergebnis
ggT = 1, kgV = 120Aufteilungsaufgabe
Bei 84 roten, 126 blauen und 210 grünen Murmeln lassen sich höchstens 42 gleiche Tüten mit je 2 roten, 3 blauen und 5 grünen Murmeln packen.
Eingabe
84, 126 und 210Ergebnis
ggT = 42Tipps und bewährte Vorgehensweisen
- Der ggT ist immer kleiner oder gleich der kleinsten Zahl, das kgV immer größer oder gleich der größten.
- Teilt eine Zahl alle anderen, ist sie der ggT; ist eine Zahl ein Vielfaches aller anderen, ist sie das kgV.
- Für zwei Zahlen berechnest du das kgV am schnellsten über den ggT: kgV(a; b) = a × b ÷ ggT(a; b).
- Vorzeichen spielen keine Rolle: ggT und kgV werden für die Beträge der eingegebenen Zahlen angegeben.
- Kommt unter den Zahlen eine 0 vor, ist der ggT der der übrigen Zahlen und das kgV ist 0.
Quellen und Referenzen
- Weisstein E.W., Greatest Common Divisor (öffnet in einem neuen Tab), Wolfram MathWorldSeite auf Englisch
- Weisstein E.W., Least Common Multiple (öffnet in einem neuen Tab), Wolfram MathWorldSeite auf Englisch
- Weisstein E.W., Euclidean Algorithm (öffnet in einem neuen Tab), Wolfram MathWorldSeite auf Englisch
- Euclid, ed. D.E. Joyce, Elements, Book VII, Proposition 2 (öffnet in einem neuen Tab), Clark UniversitySeite auf Englisch
- Weisstein E.W., Prime Factorization (öffnet in einem neuen Tab), Wolfram MathWorldSeite auf Englisch
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich den ggT von zwei Zahlen?
Mit dem euklidischen Algorithmus: Teile die größere durch die kleinere Zahl, ersetze das Paar durch (Divisor; Rest) und wiederhole das, bis der Rest 0 ist. Der letzte Rest ungleich null ist der ggT. Beispiel: 252 = 2 × 105 + 42, 105 = 2 × 42 + 21, 42 = 2 × 21 + 0, also ggT(252; 105) = 21.
Wie berechne ich das kgV von zwei Zahlen?
Am schnellsten über die Beziehung kgV(a; b) = a × b ÷ ggT(a; b). Für 12 und 18: 12 × 18 = 216 und 216 ÷ 6 = 36. Du kannst auch alle Primfaktoren mit ihrem größten Exponenten nehmen: 12 = 2² × 3 und 18 = 2 × 3², also kgV = 2² × 3² = 36.
Was ist der Unterschied zwischen ggT und kgV?
Der ggT ist der größte gemeinsame Teiler: Er ist kleiner als die Ausgangszahlen und dient zum Aufteilen oder Kürzen. Das kgV ist das kleinste gemeinsame Vielfache: Es ist größer als die Ausgangszahlen und dient dazu, einen gemeinsamen Nenner oder eine gemeinsame Periode zu finden.
Was bedeutet „teilerfremd“?
Zwei ganze Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr ggT 1 ist. Sie müssen nicht selbst Primzahlen sein: 8 und 15 sind teilerfremd, obwohl weder 8 noch 15 eine Primzahl ist. Der Bruch 8/15 ist daher bereits gekürzt.
Wie berechne ich den ggT von drei oder mehr Zahlen?
Schrittweise: ggT(a; b; c) = ggT(ggT(a; b); c). Das Tool zeigt jeden Schritt. Für das kgV funktioniert es genauso.
Kann der ggT gleich einer der Zahlen sein?
Ja, wenn diese Zahl alle anderen teilt. Zum Beispiel ist ggT(15; 45; 60) = 15. Ebenso ist das kgV gleich einer der Zahlen, wenn sie ein Vielfaches aller anderen ist.
Bis zu welcher Zahlengröße funktioniert das Tool?
ggT und kgV werden unabhängig von der Größe der Zahlen exakt berechnet. Die Primfaktorzerlegung wird bis 10¹⁵ angezeigt; darüber wäre sie im Browser zu langsam.
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