Calculateur de PGCD et PPCM avec étapes
Trouvez le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple de 2 à 20 entiers, avec les divisions successives d’Euclide et les décompositions en nombres premiers.
De 2 à 20 entiers, séparés par des virgules, des points-virgules ou des espaces.
Le PGCD vaut 1 : ces nombres sont premiers entre eux. Une fraction formée de deux d’entre eux est donc irréductible.
Algorithme d’Euclide
Décomposition en facteurs premiers
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Comment fonctionne cet outil ?
Ce calculateur détermine le PGCD (plus grand commun diviseur) et le PPCM (plus petit commun multiple) de deux à vingt nombres entiers. Il montre les divisions successives de l’algorithme d’Euclide et la décomposition de chaque nombre en facteurs premiers, pour comprendre le résultat et le recopier dans une copie. Les calculs sont exacts, même avec des nombres de plusieurs dizaines de chiffres.
Le PGCD de plusieurs entiers est le plus grand entier qui les divise tous. Le PPCM est le plus petit entier strictement positif qui est un multiple de chacun d’eux. Par exemple, PGCD(12 ; 18) = 6 et PPCM(12 ; 18) = 36.
L’algorithme d’Euclide repose sur une propriété simple : le PGCD de a et b est égal au PGCD de b et du reste de la division euclidienne de a par b. On remplace donc le couple (a ; b) par (b ; r) jusqu’à obtenir un reste nul ; le dernier reste non nul est le PGCD. La méthode figure déjà dans les Éléments d’Euclide, livre VII, et reste l’une des plus rapides connues.
Pour plus de deux nombres, on applique le calcul de proche en proche : PGCD(a ; b ; c) = PGCD(PGCD(a ; b) ; c). Il en va de même pour le PPCM.
La décomposition en facteurs premiers donne une seconde méthode : le PGCD est le produit des facteurs premiers communs à tous les nombres, chacun avec son plus petit exposant, et le PPCM le produit de tous les facteurs premiers rencontrés, chacun avec son plus grand exposant. Pour deux nombres, le produit a × b est toujours égal à PGCD × PPCM.
Deux nombres dont le PGCD vaut 1 sont dits premiers entre eux : ils n’ont aucun diviseur commun autre que 1, même s’ils ne sont pas eux-mêmes premiers (8 et 15, par exemple).
Comment utiliser cet outil ?
Saisissez les nombres
Entrez de 2 à 20 entiers séparés par des virgules, des points-virgules ou des espaces.
Lisez le PGCD et le PPCM
Les deux résultats s’affichent instantanément, avec une mention si les nombres sont premiers entre eux.
Suivez les divisions d’Euclide
Chaque ligne a = q × b + r montre une division euclidienne jusqu’au reste nul.
Comparez avec les facteurs premiers
La décomposition de chaque nombre, du PGCD et du PPCM permet de vérifier le calcul par une seconde méthode.
Formules du PGCD et du PPCM
Propriété d’Euclide
PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r), où a = q × b + r et 0 ≤ r < b
Relation entre PGCD et PPCM
PGCD(a ; b) × PPCM(a ; b) = a × b
Plusieurs nombres
PGCD(a ; b ; c) = PGCD(PGCD(a ; b) ; c)
Par les facteurs premiers
PGCD = ∏ p^min(exposants) ; PPCM = ∏ p^max(exposants)
- a, b, c
- entiers étudiés
- q, r
- quotient et reste de la division euclidienne de a par b
- p
- nombre premier apparaissant dans une décomposition
Cas d'utilisation
Simplifier une fraction
Diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD donne directement la fraction irréductible.
Additionner des fractions
Le PPCM des dénominateurs est le plus petit dénominateur commun.
Problèmes de partage et de calendrier
Le PGCD répond aux questions de partage maximal en parts égales, le PPCM aux questions d’événements qui se reproduisent ensemble (deux bus, deux engrenages, deux feux clignotants).
Arithmétique et informatique
Le PGCD sert à vérifier que deux nombres sont premiers entre eux, notion utilisée en cryptographie (RSA) et en théorie des nombres.
Exemples
PGCD de deux nombres
252 = 2 × 105 + 42, puis 105 = 2 × 42 + 21, puis 42 = 2 × 21 + 0 : le dernier reste non nul est 21.
Entrée
252 et 105Résultat
PGCD = 21PPCM pour un dénominateur commun
6 = 2 × 3, 8 = 2³ et 10 = 2 × 5 : PPCM = 2³ × 3 × 5 = 120, plus petit dénominateur commun de 1/6, 1/8 et 1/10.
Entrée
6, 8 et 10Résultat
PPCM = 120Nombres premiers entre eux
Aucun facteur premier commun : leur PPCM est simplement leur produit.
Entrée
8 et 15Résultat
PGCD = 1, PPCM = 120Problème de partage
Avec 84 billes rouges, 126 bleues et 210 vertes, on peut faire au maximum 42 sachets identiques de 2 rouges, 3 bleues et 5 vertes.
Entrée
84, 126 et 210Résultat
PGCD = 42Conseils et bonnes pratiques
- Le PGCD est toujours inférieur ou égal au plus petit des nombres, et le PPCM toujours supérieur ou égal au plus grand.
- Si un nombre divise tous les autres, il est leur PGCD ; si un nombre est multiple de tous les autres, il est leur PPCM.
- Pour deux nombres, calculez le PPCM à partir du PGCD : PPCM(a ; b) = a × b ÷ PGCD(a ; b).
- Les signes n’ont pas d’influence : le PGCD et le PPCM sont donnés pour les valeurs absolues des nombres saisis.
- Avec 0 parmi les nombres, le PGCD est celui des autres nombres et le PPCM vaut 0.
Sources et références
- Weisstein E.W., Greatest Common Divisor (s’ouvre dans un nouvel onglet), Wolfram MathWorldPage en anglais
- Weisstein E.W., Least Common Multiple (s’ouvre dans un nouvel onglet), Wolfram MathWorldPage en anglais
- Weisstein E.W., Euclidean Algorithm (s’ouvre dans un nouvel onglet), Wolfram MathWorldPage en anglais
- Euclid, ed. D.E. Joyce, Elements, Book VII, Proposition 2 (s’ouvre dans un nouvel onglet), Clark UniversityPage en anglais
- Weisstein E.W., Prime Factorization (s’ouvre dans un nouvel onglet), Wolfram MathWorldPage en anglais
Questions fréquentes
Comment calculer le PGCD de deux nombres ?
Avec l’algorithme d’Euclide : divisez le plus grand par le plus petit, remplacez le couple par (diviseur ; reste) et recommencez jusqu’à un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD. Exemple : 252 = 2 × 105 + 42, 105 = 2 × 42 + 21, 42 = 2 × 21 + 0, donc PGCD(252 ; 105) = 21.
Comment calculer le PPCM de deux nombres ?
Le plus rapide est d’utiliser la relation PPCM(a ; b) = a × b ÷ PGCD(a ; b). Pour 12 et 18 : 12 × 18 = 216 et 216 ÷ 6 = 36. On peut aussi prendre tous les facteurs premiers avec leur plus grand exposant : 12 = 2² × 3 et 18 = 2 × 3², donc PPCM = 2² × 3² = 36.
Quelle est la différence entre PGCD et PPCM ?
Le PGCD est le plus grand diviseur commun : il est plus petit que les nombres de départ et sert à partager ou à simplifier. Le PPCM est le plus petit multiple commun : il est plus grand que les nombres de départ et sert à trouver un dénominateur commun ou une période commune.
Que signifie « nombres premiers entre eux » ?
Deux entiers sont premiers entre eux lorsque leur PGCD vaut 1. Ils peuvent ne pas être premiers : 8 et 15 sont premiers entre eux alors que ni 8 ni 15 n’est un nombre premier. La fraction 8/15 est donc irréductible.
Comment calculer le PGCD de trois nombres ou plus ?
On calcule de proche en proche : PGCD(a ; b ; c) = PGCD(PGCD(a ; b) ; c). L’outil affiche chaque étape. La méthode est la même pour le PPCM.
Le PGCD peut-il être égal à l’un des nombres ?
Oui, lorsque ce nombre divise tous les autres. Par exemple, PGCD(15 ; 45 ; 60) = 15. De même, le PPCM est égal à l’un des nombres lorsque celui-ci est multiple de tous les autres.
Jusqu’à quelle taille de nombres l’outil fonctionne-t-il ?
Le PGCD et le PPCM sont calculés exactement quelle que soit la taille des nombres. La décomposition en facteurs premiers est affichée jusqu’à 10¹⁵ ; au-delà, elle serait trop lente à calculer dans le navigateur.
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