Trapez
A = (B + b) × h ÷ 2
Mittelwert der beiden Grundseiten mal Höhe.
Geometrie-Rechner: Fläche, Umfang und Volumen berechnen
Geometrie-Löser für 19 ebene Figuren und Körper: Quadrat, Rechteck, Kreis, Dreiecke, Trapez, Raute, Ellipse, Kreissektor, regelmäßiges Vieleck, Würfel, Quader, Kugel, Zylinder, Kegel, Pyramide und Torus. Gib ein, was du kennst, und das Werkzeug leitet alle berechenbaren Größen ab, mit erklärten Formeln.
Wähle die zu berechnende Form.
Quadrat
Wähle die Werte aus, die du bereits kennst.
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Ergebnisse
Die Ergebnisse werden sofort aktualisiert.
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Wie funktioniert dieses Tool?
Dieser Geometrie-Rechner löst die wichtigsten ebenen Figuren und gängigen Körper allein aus den Maßen, die du kennst. Wähle die Form, gib zum Beispiel einen Radius, zwei Seiten und einen Winkel oder drei Abmessungen ein, und das Werkzeug leitet alle berechenbaren Größen ab: Fläche, Umfang, Diagonalen, Winkel, Inkreisradius, Mantel- oder Oberfläche und Volumen. Er ersetzt ein gutes Dutzend einzelner Rechner, ob beim Lernen, bei Hausaufgaben oder bei Abschätzungen auf der Baustelle.
Der Rechner arbeitet wie ein Löser: Für jede Form stehen, wo möglich, mehrere Kombinationen von Angaben zur Auswahl. Ein Kreis lässt sich aus Radius, Durchmesser oder Umfang lösen, ein Dreieck aus drei Seiten, aus Grundseite und Höhe oder aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel, ein rechtwinkliges Dreieck aus den beiden Katheten oder aus Hypotenuse und einer Kathete.
Abgedeckt sind in 2D: Quadrat, Rechteck, Kreis, allgemeines Dreieck, rechtwinkliges Dreieck, Trapez, Parallelogramm, Raute, Ellipse, Kreisring, Kreissektor und regelmäßiges Vieleck; in 3D: Würfel, Quader, Kugel, Zylinder, Kegel, quadratische Pyramide und Torus.
Jedes Feld hat seine eigene Einheit: Die Längen werden vor der Rechnung in eine gemeinsame Einheit umgerechnet, und die Ergebnisse erscheinen in der Einheit des ersten Felds, quadriert für Flächen und hoch drei für Volumen. Winkel gibst du in Grad, Radiant oder Gon ein.
Angezeigt werden nur Größen, die sich wirklich ableiten lassen. Grundseite und Höhe reichen für die Fläche eines Dreiecks, aber nicht für seinen Umfang: Das Werkzeug erfindet ihn nicht. Widersprüchliche Angaben, etwa drei Seiten, die die Dreiecksungleichung verletzen, oder ein Rohrradius, der größer ist als der große Radius eines Torus, liefern kein Ergebnis.
Nur ein einziges Ergebnis ist eine Näherung: der Umfang der Ellipse, für den es keine einfache exakte Formel gibt. Das Werkzeug nutzt die Näherung nach Ramanujan, die für übliche Ellipsen sehr genau ist.
So verwenden Sie dieses Tool
Form wählen
Wähle eine 2D-Figur oder einen 3D-Körper aus der Liste.
Bekannte Angaben festlegen
Gibt es mehrere Wege, wählst du die Kombination von Maßen, die du zur Verfügung hast.
Maße eingeben
Trage die Werte mit ihrer Einheit ein; alle berechenbaren Ergebnisse erscheinen sofort.
Die verwendeten Geometrie-Formeln
Eine Auswahl der Beziehungen, die der Löser für ebene Figuren und Körper anwendet.
Raute
A = D × d ÷ 2
Produkt der Diagonalen geteilt durch zwei.
Regelmäßiges Vieleck
A = P × a ÷ 2, mit a = c ÷ (2 tan(π ÷ n))
Halbes Produkt aus Umfang und Inkreisradius a.
Ellipse (Ramanujan)
P ≈ π(3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b)))
Näherung für den Umfang; die Fläche ist exakt πab.
Zylinder
V = π × r² × h
Grundfläche mal Höhe.
Kegel und Pyramide
V = Grundfläche × h ÷ 3
Ein Drittel des Zylinders bzw. Prismas mit gleicher Grundfläche und Höhe.
Kugel
V = 4/3 × π × r³, S = 4πr²
Volumen und Oberfläche einer Kugel mit Radius r.
- A, P
- Fläche und Umfang einer ebenen Figur (Umfang im Schulbuch meist U)
- V, S
- Volumen und Oberfläche eines Körpers (Oberfläche im Schulbuch meist O)
- r, h
- Radius und Höhe
- B, b, D, d
- lange und kurze Grundseite, lange und kurze Diagonale
- n, c, a
- Anzahl der Seiten, Seitenlänge und Inkreisradius eines regelmäßigen Vielecks
Beispiel: Eine Kugel mit 6 cm Radius hat ein Volumen von 288π ≈ 904,8 cm³.
Anwendungsfälle
Lernen und Hausaufgaben
Flächen, Umfänge oder Volumen von der Mittel- bis zur Oberstufe nachrechnen und Zwischenwerte kontrollieren: Diagonale, Mantellinie, Inkreisradius, Winkel.
Volumen und Fassungsvermögen
Das Volumen eines Tanks, einer Wanne, eines Silos, eines Pflanzkübels oder einer Grube in m³ berechnen und in Liter umrechnen (1 m³ = 1.000 l).
Flächen zum Beschichten
Die Mantelfläche eines zu streichenden Zylinders, die Fläche eines Kegeldachs oder eines zu pflasternden Kreisrings abschätzen.
Pläne und Fertigung
Ein regelmäßiges Vieleck, einen Kreissektor oder eine Ellipse für Zuschnitt, 3D-Druck oder Tischlerarbeiten dimensionieren.
Beispiele
Volumen eines zylindrischen Tanks
V = π × 0,5² × 1,2 ≈ 0,942 m³, also rund 942 Liter.
Eingabe
Zylinder, r = 0,5 m, h = 1,2 mErgebnis
V ≈ 0,942 m³Kugel
V = 4/3 × π × r³ und O = 4πr²; das Volumen entspricht rund 4,19 Litern.
Eingabe
r = 10 cmErgebnis
V ≈ 4.188,8 cm³, O ≈ 1.256,6 cm²Kegel
Die Mantellinie ist √(3² + 4²) = 5 cm lang; V = π × 9 × 4 ÷ 3 ≈ 37,70 cm³ und die Oberfläche π × 3 × (3 + 5) ≈ 75,40 cm².
Eingabe
r = 3 cm, h = 4 cmErgebnis
Mantellinie 5 cm, V ≈ 37,70 cm³Trapez
(10 + 6) × 4 ÷ 2 = 32 m²; die Mittellinie ist 8 m lang.
Eingabe
Grundseiten 10 und 6 m, Höhe 4 mErgebnis
A = 32 m²Regelmäßiges Sechseck
Inkreisradius ≈ 1,732 cm, Umfang 12 cm, A = 12 × 1,732 ÷ 2 ≈ 10,39 cm².
Eingabe
6 Seiten mit 2 cmErgebnis
A ≈ 10,39 cm²Kreissektor
Die Bogenlänge ist r × θ (θ im Bogenmaß), die Fläche r² × θ ÷ 2.
Eingabe
r = 5 cm, Winkel 60°Ergebnis
Bogen ≈ 5,24 cm, A ≈ 13,09 cm²Tipps und bewährte Vorgehensweisen
- Misch die Einheiten ruhig: Jedes Feld wird vor der Rechnung umgerechnet, das Ergebnis folgt der Einheit des ersten Felds.
- Volumen in Liter umrechnen: 1 m³ = 1.000 l und 1 dm³ = 1 l; auch 1.000 cm³ ergeben 1 l.
- Bei zusammengesetzten Formen löst du jeden Teil einzeln und addierst oder subtrahierst dann Flächen und Volumen.
- Fehlt ein erwartetes Ergebnis, lässt es sich aus den Angaben nicht ableiten: Wähle eine andere Kombination von Maßen.
- Winkel eines Kreissektors oder Dreiecks kannst du in Grad, Radiant oder Gon eingeben.
Quellen und Referenzen
- Weisstein E.W., Circle (öffnet in einem neuen Tab), Wolfram MathWorldSeite auf Englisch
- Weisstein E.W., Triangle Area (öffnet in einem neuen Tab), Wolfram MathWorldSeite auf Englisch
- Weisstein E.W., Ellipse (öffnet in einem neuen Tab), Wolfram MathWorldSeite auf Englisch
- Weisstein E.W., Regular Polygon (öffnet in einem neuen Tab), Wolfram MathWorldSeite auf Englisch
- Weisstein E.W., Sphere (öffnet in einem neuen Tab), Wolfram MathWorldSeite auf Englisch
- Weisstein E.W., Cylinder (öffnet in einem neuen Tab), Wolfram MathWorldSeite auf Englisch
- Weisstein E.W., Cone (öffnet in einem neuen Tab), Wolfram MathWorldSeite auf Englisch
- Programme de mathématiques pour le cycle 4 (annexe 2) (öffnet in einem neuen Tab), Ministère de l’Éducation nationaleSeite auf Französisch
Häufig gestellte Fragen
Welche Formen werden unterstützt?
Zwölf ebene Figuren (Quadrat, Rechteck, Kreis, allgemeines und rechtwinkliges Dreieck, Trapez, Parallelogramm, Raute, Ellipse, Kreisring, Kreissektor, regelmäßiges Vieleck) und sieben Körper (Würfel, Quader, Kugel, Zylinder, Kegel, quadratische Pyramide, Torus).
Warum werden manche Ergebnisse nicht angezeigt?
Eine Figur ist durch die eingegebenen Werte nicht immer vollständig bestimmt. Mit Grundseite und Höhe kennst du die Fläche eines Dreiecks, aber nicht seine Seiten und damit auch nicht seinen Umfang. Der Löser zeigt nur, was sich sicher berechnen lässt.
Wie berechne ich das Volumen eines Zylinders?
V = π × r² × h: die Grundfläche des Kreises mal die Höhe. Mit r = 10 cm und h = 30 cm ergibt sich V ≈ 9.425 cm³, also rund 9,4 Liter.
Wie lauten die Volumenformeln für Kugel und Kegel?
Kugel: V = 4/3 × π × r³. Kegel: V = π × r² × h ÷ 3, also ein Drittel des Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe. Dasselbe gilt für die Pyramide im Vergleich zum Prisma.
Ist der Umfang der Ellipse exakt?
Nein, er ist eine Näherung: Eine einfache exakte Formel gibt es nicht. Das Werkzeug nutzt die Näherung nach Ramanujan, deren Fehler im Alltag vernachlässigbar ist.
Kann ich in einer Rechnung mehrere Einheiten verwenden?
Ja. Jedes Maß hat seine eigene Auswahl (mm, cm, m, km, Zoll, Fuß, Yard), und die Umrechnung erfolgt vor der Rechnung.
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