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Bethemesh
Mathematik & Berechnung

Satz-des-Pythagoras-Rechner mit Umkehrung und Rechenweg

Berechne mit dem Satz des Pythagoras die Hypotenuse oder eine Kathete, prüfe mit der Umkehrung, ob ein Dreieck rechtwinklig ist, und erhalte den Rechenweg Schritt für Schritt: Gleichung, Quadrate, Wurzel und Antwortsatz.

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Rechenweg

  1. Gib zwei Längen ein, um den vollständigen Rechenweg zu sehen.

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Wie funktioniert dieses Tool?

Mit diesem Rechner wendest du den Satz des Pythagoras an, um die Hypotenuse oder eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen, und prüfst mit der Umkehrung, ob ein Dreieck mit drei bekannten Seiten rechtwinklig ist. Zu jedem Ergebnis bekommst du den Rechenweg wie im Heft: Gleichung a² + b² = c², Einsetzen, Quadrate, exakte Wurzel und gerundeter Wert.

Der Satz des Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse so groß wie die Summe der Quadrate über den beiden Katheten. Liegt der rechte Winkel bei A, gilt BC² = AB² + AC². Die Hypotenuse BC liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist immer die längste Seite; die beiden anderen Seiten heißen Katheten.

Für die Hypotenuse addierst du die Quadrate der Katheten und ziehst die Wurzel: Mit AB = 3 und AC = 4 ist BC² = 9 + 16 = 25, also BC = √25 = 5. Für eine Kathete stellst du durch Subtraktion um: AB² = BC² − AC². Geht die Wurzel nicht auf, behält der Rechner den exakten Wert (zum Beispiel √52) und gibt zusätzlich einen auf zwei Nachkommastellen gerundeten Wert an.

Mit der Umkehrung weist du einen rechten Winkel nach: Ist in einem Dreieck das Quadrat der längsten Seite gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten, dann ist das Dreieck rechtwinklig, und der rechte Winkel liegt der längsten Seite gegenüber. Der Rechner bestimmt die längste Seite selbst, bevor er vergleicht.

Umgekehrt gilt: Ist das Quadrat der längsten Seite ungleich der Summe der beiden anderen Quadrate, ist das Dreieck nicht rechtwinklig. Der Vergleich verrät sogar mehr: Ist c² kleiner als a² + b², ist das Dreieck spitzwinklig, ist c² größer, ist es stumpfwinklig.

Ein vollständiger Lösungsweg nennt den rechten Winkel und den Satz, stellt die Gleichung mit Buchstaben auf, setzt die Werte ein, berechnet Quadrate und Wurzel und endet mit einem Antwortsatz samt Einheit. Bei der Umkehrung berechnest du das Quadrat der längsten Seite und die Summe der beiden anderen Quadrate getrennt, vergleichst sie und begründest mit der Umkehrung.

So verwenden Sie dieses Tool

  1. Modus wählen

    Satz, um eine Länge im rechtwinkligen Dreieck zu berechnen; Umkehrung, um zu prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist.

  2. Gesuchte Seite und Einheit festlegen

    Die Hypotenuse BC oder eine der Katheten AB oder AC; die Eingabefelder passen sich an.

  3. Bekannte Längen eintragen

    Zwei Längen im Modus Satz, alle drei Seiten im Modus Umkehrung; das Ergebnis aktualisiert sich bei jeder Eingabe.

  4. Rechenweg lesen und kopieren

    Gleichung, Quadrate, Wurzel und Antwortsatz erscheinen wie im Heft; der Button kopiert den Rechenweg als Text.

Die Formeln zum Satz des Pythagoras

Im rechtwinkligen Dreieck sind a und b die Katheten und c die Hypotenuse.

Hypotenuse

c² = a² + b² ⇒ c = √(a² + b²)

Quadrate der Katheten addieren, dann die Wurzel ziehen.

Kathete

a² = c² − b² ⇒ a = √(c² − b²)

Das Quadrat der anderen Kathete vom Quadrat der Hypotenuse abziehen.

Umkehrung

c² = a² + b² ⇒ rechtwinkliges Dreieck

c ist hier die längste Seite; der rechte Winkel liegt c gegenüber.

Keine Gleichheit

c² ≠ a² + b² ⇒ nicht rechtwinklig

Ist die Gleichung für die längste Seite nicht erfüllt, hat das Dreieck keinen rechten Winkel.

a, b
Katheten, die beiden Seiten am rechten Winkel
c
Hypotenuse, dem rechten Winkel gegenüber und längste Seite

Beispiel: Mit a = 3 und b = 4 ist c = √(3² + 4²) = √25 = 5.

Anwendungsfälle

Hausaufgaben und Klassenarbeiten

Kontrolliere die Berechnung einer Hypotenuse oder den Nachweis eines rechten Winkels und vergleiche deinen Lösungsweg mit einer vollständigen Lösung.

Heimwerken und Bau

Lege mit der 3-4-5-Regel (60 cm, 80 cm, 1 m) einen rechten Winkel an oder berechne die Länge eines Sparrens, einer Rampe oder einer Leiter.

Diagonalen und Abstände

Bestimme die Diagonale eines Bildschirms, eines Raums oder eines Rechtecks oder einen Abstand im Koordinatensystem.

Exakte Werte und Runden

Übe, eine Wurzel exakt stehen zu lassen und einen korrekt gerundeten Näherungswert anzugeben.

Beispiele

Hypotenuse berechnen

BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, also BC = √25 = 5 cm.

Eingabe

AB = 3 cm, AC = 4 cm

Ergebnis

BC = 5 cm

Hypotenuse mit Wurzel

BC² = 16 + 36 = 52; √52 geht nicht auf, gerundet ergibt sich 7,21 cm.

Eingabe

AB = 4 cm, AC = 6 cm

Ergebnis

BC = √52 ≈ 7,21 cm

Kathete berechnen

AB² = BC² − AC² = 169 − 25 = 144, also AB = √144 = 12 cm.

Eingabe

BC = 13 cm, AC = 5 cm

Ergebnis

AB = 12 cm

Wie hoch reicht die Leiter?

h² = 5² − 1,4² = 25 − 1,96 = 23,04, also h = √23,04 = 4,8 m.

Eingabe

Leiter 5 m, Fuß 1,4 m von der Wand

Ergebnis

Höhe = 4,8 m

Diagonale eines Rechtecks

d² = 1,44 + 0,25 = 1,69, also d = √1,69 = 1,3 m.

Eingabe

Seiten 1,2 m und 0,5 m

Ergebnis

Diagonale = 1,3 m

Umkehrung: rechtwinklig

BC² = 100 und AB² + AC² = 36 + 64 = 100: Die Gleichung ist erfüllt.

Eingabe

AB = 6, AC = 8, BC = 10

Ergebnis

rechter Winkel bei A

Nicht rechtwinklig

8² = 64, aber 5² + 6² = 25 + 36 = 61, und 64 ≠ 61.

Eingabe

Seiten 5, 6 und 8

Ergebnis

nicht rechtwinklig

Tipps und bewährte Vorgehensweisen

  • Finde zuerst die Hypotenuse: Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist die längste Seite. Sie steht in BC² = AB² + AC² allein auf einer Seite.
  • Für eine Kathete wird subtrahiert: AB² = BC² − AC². Die Quadrate stattdessen zu addieren ist der häufigste Fehler.
  • Vergiss die Wurzel am Ende nicht: Aus BC² = 25 folgt BC = 5, nicht 25.
  • Lass den exakten Wert (√52) bis zum Schluss stehen und runde erst im letzten Schritt auf die verlangte Genauigkeit.
  • Bei der Umkehrung vergleichst du das Quadrat der längsten Seite mit der Summe der beiden anderen Quadrate – nicht irgendeine Seite.
  • Rechne in einer einzigen Einheit: Wandle Zentimeter und Meter um, bevor du quadrierst.

Quellen und Referenzen

Häufig gestellte Fragen

Wann darf ich den Satz des Pythagoras anwenden?

Nur in einem rechtwinkligen Dreieck, wenn zwei Seiten bekannt sind und die dritte gesucht ist. Hat das Dreieck keinen rechten Winkel, gilt die Gleichung nicht; dann helfen zum Beispiel Trigonometrie oder der Kosinussatz.

Wie berechne ich die Hypotenuse?

Addiere die Quadrate der beiden Katheten und ziehe die Wurzel: c = √(a² + b²). Mit Katheten von 6 und 8 cm ergibt sich √(36 + 64) = √100 = 10 cm.

Wie berechne ich eine Kathete?

Ziehe das Quadrat der bekannten Kathete vom Quadrat der Hypotenuse ab und ziehe die Wurzel: a = √(c² − b²). Mit c = 13 und b = 5 ergibt sich √(169 − 25) = √144 = 12.

Was besagt die Umkehrung des Satzes des Pythagoras?

Gilt in einem Dreieck c² = a² + b², wobei c die längste Seite ist, dann ist das Dreieck rechtwinklig, und der rechte Winkel liegt c gegenüber. Gilt c² ≠ a² + b², ist das Dreieck nicht rechtwinklig.

Warum zeigt der Rechner eine Wurzel und eine Dezimalzahl?

Ist das Ergebnis keine Quadratzahl, lässt sich die Länge exakt nur mit einer Wurzel angeben, etwa √52. Der Rechner behält diesen Wert und nennt zusätzlich den gerundeten Wert 7,21 für eine echte Messung.

Was sind pythagoreische Tripel?

Drei natürliche Zahlen, die a² + b² = c² erfüllen, etwa 3, 4, 5 oder 5, 12, 13. Jedes Vielfache eines Tripels ist wieder eins (6, 8, 10) – deshalb nutzen Handwerker die 3-4-5-Regel, um einen rechten Winkel abzustecken.

Gilt der Satz auch im Raum?

Ja, wenn du ihn zweimal anwendest. Die Raumdiagonale eines Quaders mit den Kanten a, b und c ist √(a² + b² + c²): Erst berechnest du die Diagonale der Grundfläche, dann nutzt du sie als Kathete eines zweiten rechtwinkligen Dreiecks.

Werden meine Eingaben an einen Server gesendet?

Nein. Rechnung und Rechenweg entstehen direkt in deinem Browser, ohne Konto und ohne Datenübertragung.

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