Teorema di Talete: calcolo dei segmenti e teorema inverso

Questo calcolatore applica il teorema di Talete per trovare un segmento incognito quando due rette incidenti sono tagliate da due rette parallele, e usa il teorema inverso per stabilire se due rette sono parallele. Ogni risultato è accompagnato dalla soluzione come sul quaderno: ipotesi, proporzione scritta con le frazioni, sostituzione dei valori, prodotto in croce e frase conclusiva.

Il teorema di Talete afferma che un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali determina su di esse segmenti proporzionali. Applicato al triangolo: se le rette BM e CN si incontrano in A e la retta MN è parallela a BC, allora i lati dei triangoli AMN e ABC sono proporzionali, AM : AB = AN : AC = MN : BC, cioè AM/AB = AN/AC = MN/BC. I due triangoli sono simili e i tre rapporti sono uguali allo stesso rapporto di similitudine k.

Le configurazioni sono due. Nei triangoli annidati, M sta sul segmento AB e N sul segmento AC: il triangolo piccolo AMN è dentro ABC. Nella configurazione a farfalla, M e B stanno da parti opposte rispetto ad A, come N e C: i due triangoli sono opposti al vertice A. Le proporzioni si scrivono allo stesso modo; nel calcolatore basta chiamare AMN il triangolo più piccolo.

Per calcolare un segmento si scelgono i due rapporti che contengono l’incognita e tre lunghezze note, poi si applica il prodotto in croce (proprietà fondamentale delle proporzioni). Per esempio, con AM = 3, AB = 5 e AC = 10: 3/5 = AN/10, quindi AN = 3 × 10 : 5 = 6. Lo strumento sceglie automaticamente un rapporto completo, mostra il calcolo e arrotonda ai centesimi quando il risultato non è esatto.

Il teorema inverso serve a dimostrare un parallelismo: se i punti A, M, B e A, N, C sono allineati nello stesso ordine e AM/AB = AN/AC, allora le rette MN e BC sono parallele. La contronominale dimostra il contrario: se AM/AB ≠ AN/AC, le rette non sono parallele. Per confrontare i rapporti senza arrotondamenti, lo strumento verifica anche i prodotti in croce AM × AC e AN × AB.

Condizioni di applicazione: i punti devono essere allineati (lo dice il testo, non il disegno), il parallelismo deve essere un’ipotesi per usare il teorema e l’ordine dei punti deve essere lo stesso sulle due rette per usare l’inverso. Una soluzione completa cita le rette incidenti, le parallele e il teorema, scrive la proporzione, svolge il calcolo e termina con una frase che riporta l’unità di misura.