Teorema de Tales: cálculo de comprimentos e recíproco

Esta calculadora aplica o teorema de Tales para encontrar um comprimento desconhecido quando duas retas concorrentes são cortadas por duas retas paralelas, e usa o recíproco para demonstrar se duas retas são paralelas. Cada resultado inclui a resolução como no caderno: dados, igualdade de razões escrita com frações, substituição, produto cruzado e frase de conclusão.

Enunciado do teorema de Tales: um feixe de retas paralelas cortado por duas secantes determina segmentos proporcionais. No triângulo: se as retas BM e CN se intersetam em A e a reta MN é paralela a BC, então os lados dos triângulos AMN e ABC são proporcionais, AM/AB = AN/AC = MN/BC. Os dois triângulos são semelhantes e as três razões são iguais à mesma razão de semelhança k.

Há duas configurações. Nos triângulos encaixados, M está no segmento AB e N no segmento AC: o triângulo pequeno AMN fica dentro de ABC. Na configuração em borboleta, M e B ficam de lados opostos de A, tal como N e C: os dois triângulos são opostos pelo vértice A. As razões escrevem-se da mesma forma; na calculadora basta chamar AMN ao triângulo mais pequeno.

Para calcular um comprimento escolhem-se as duas razões que contêm a incógnita e três comprimentos conhecidos, e aplica-se o produto cruzado. Por exemplo, com AM = 3, AB = 5 e AC = 10: 3/5 = AN/10, logo AN = 3 × 10 ÷ 5 = 6. A ferramenta escolhe automaticamente uma razão completa, mostra o cálculo e arredonda às centésimas quando o resultado não é exato.

O recíproco serve para demonstrar um paralelismo: se os pontos A, M, B e A, N, C estão alinhados pela mesma ordem e AM/AB = AN/AC, então as retas MN e BC são paralelas. O contrarrecíproco demonstra o contrário: se AM/AB ≠ AN/AC, as retas não são paralelas. Para comparar as razões sem arredondamentos, a ferramenta verifica também os produtos cruzados AM × AC e AN × AB.

Condições de aplicação: os pontos têm de estar alinhados (é o enunciado que o diz, não a figura), o paralelismo tem de ser um dado para usar o teorema e a ordem dos pontos tem de ser a mesma nas duas retas para usar o recíproco. Uma boa resolução indica as retas concorrentes, as paralelas e o teorema, escreve a igualdade de razões, apresenta o cálculo e termina com uma frase que inclui a unidade.