Ipotenusa
c² = a² + b² ⇒ c = √(a² + b²)
Si sommano i quadrati dei cateti, poi si estrae la radice quadrata.
Teorema di Pitagora: calcolo di ipotenusa e cateti
Calcola l’ipotenusa o un cateto con il teorema di Pitagora, dimostra se un triangolo è rettangolo con il teorema inverso e ottieni lo svolgimento passo per passo: uguaglianza di Pitagora, quadrati, radice quadrata e conclusione.
- Appunti
Risultato
-
Inserisci due lunghezze positive. Per calcolare un cateto, l’ipotenusa deve essere maggiore dell’altro cateto.
Inserisci tre lunghezze positive che formino un triangolo: il lato maggiore deve essere minore della somma degli altri due.
Svolgimento
- Inserisci due lunghezze per vedere lo svolgimento completo.
Questo strumento ti è stato utile?
Come funziona questo strumento?
Questo calcolatore applica il teorema di Pitagora per trovare l’ipotenusa o un cateto di un triangolo rettangolo, e usa il teorema inverso per stabilire se un triangolo con tre lati noti è rettangolo. Ogni risultato è accompagnato dallo svolgimento come sul quaderno: uguaglianza a² + b² = c², sostituzione dei valori, calcolo dei quadrati, radice quadrata esatta e valore arrotondato.
Enunciato del teorema di Pitagora: in un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Se ABC è rettangolo in A, BC² = AB² + AC². L’ipotenusa BC è il lato opposto all’angolo retto ed è sempre il lato maggiore; gli altri due lati sono i cateti.
Per calcolare l’ipotenusa si sommano i quadrati dei cateti e si estrae la radice quadrata: con AB = 3 e AC = 4, BC² = 9 + 16 = 25, quindi BC = √25 = 5. Per calcolare un cateto si ricava il suo quadrato per differenza: AB² = BC² − AC². Quando la radice non è esatta, lo strumento conserva il valore esatto (per esempio √52) e fornisce anche un’approssimazione ai centesimi.
Il teorema inverso permette di dimostrare che un triangolo è rettangolo: se il quadrato del lato maggiore è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, il triangolo è rettangolo e l’angolo retto è nel vertice opposto al lato maggiore. Lo strumento individua da solo il lato maggiore prima di confrontare.
La contronominale dimostra il contrario: se il quadrato del lato maggiore è diverso dalla somma degli altri due quadrati, il triangolo non è rettangolo. Il confronto dice anche di più: se c² è minore di a² + b² il triangolo è acutangolo, se è maggiore è ottusangolo.
Uno svolgimento completo indica l’angolo retto, cita il teorema, scrive l’uguaglianza con le lettere, sostituisce i valori, calcola quadrati e radice e termina con una frase che riporta l’unità di misura. Per l’inverso si calcolano separatamente il quadrato del lato maggiore e la somma degli altri due quadrati, si confrontano e si conclude citando l’inverso o la contronominale.
Come usare questo strumento
Scegli la modalità
Teorema per calcolare una lunghezza in un triangolo rettangolo; Inverso per sapere se un triangolo è rettangolo.
Indica il lato cercato e l’unità
L’ipotenusa BC oppure uno dei cateti, AB o AC; i campi si adattano alla scelta.
Inserisci le lunghezze note
Due lunghezze in modalità Teorema, tutti e tre i lati in modalità Inverso; il risultato si aggiorna mentre scrivi.
Leggi e copia lo svolgimento
Uguaglianza di Pitagora, quadrati, radice e conclusione compaiono come sul quaderno; il pulsante copia lo svolgimento come testo.
Le formule del teorema di Pitagora
In un triangolo rettangolo, a e b sono i cateti e c è l’ipotenusa.
Cateto
a² = c² − b² ⇒ a = √(c² − b²)
Si sottrae il quadrato dell’altro cateto dal quadrato dell’ipotenusa.
Teorema inverso
c² = a² + b² ⇒ triangolo rettangolo
Qui c è il lato maggiore; l’angolo retto è nel vertice opposto a c.
Contronominale
c² ≠ a² + b² ⇒ triangolo non rettangolo
Se l’uguaglianza non vale per il lato maggiore, il triangolo non è rettangolo.
- a, b
- cateti, i lati che formano l’angolo retto
- c
- ipotenusa, opposta all’angolo retto e lato maggiore
Esempio: con a = 3 e b = 4, c = √(3² + 4²) = √25 = 5.
Casi d’uso
Compiti e verifiche
Controllare il calcolo di un’ipotenusa o la dimostrazione di un angolo retto e confrontare il proprio svolgimento con una soluzione completa.
Fai da te e cantiere
Tracciare un angolo retto con la regola del 3-4-5 (60 cm, 80 cm, 1 m) o calcolare la lunghezza di una trave, di una rampa o di una scala.
Diagonali e distanze
Trovare la diagonale di uno schermo, di una stanza o di un rettangolo, o una distanza in linea d’aria su una griglia.
Valori esatti e arrotondamenti
Esercitarsi a mantenere una radice esatta e a dare un’approssimazione arrotondata correttamente.
Esempi
Calcolare l’ipotenusa
BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, quindi BC = √25 = 5 cm.
Input
AB = 3 cm, AC = 4 cmRisultato
BC = 5 cmIpotenusa non intera
BC² = 16 + 36 = 52; √52 non è esatta e, arrotondata ai centesimi, vale 7,21 cm.
Input
AB = 4 cm, AC = 6 cmRisultato
BC = √52 ≈ 7,21 cmCalcolare un cateto
AB² = BC² − AC² = 169 − 25 = 144, quindi AB = √144 = 12 cm.
Input
BC = 13 cm, AC = 5 cmRisultato
AB = 12 cmAltezza raggiunta da una scala
h² = 5² − 1,4² = 25 − 1,96 = 23,04, quindi h = √23,04 = 4,8 m.
Input
scala di 5 m, piede a 1,4 m dal muroRisultato
altezza = 4,8 mDiagonale di un rettangolo
d² = 1,44 + 0,25 = 1,69, quindi d = √1,69 = 1,3 m.
Input
lati di 1,2 m e 0,5 mRisultato
diagonale = 1,3 mInverso: triangolo rettangolo
BC² = 100 e AB² + AC² = 36 + 64 = 100: l’uguaglianza è verificata.
Input
AB = 6, AC = 8, BC = 10Risultato
rettangolo in ATriangolo non rettangolo
8² = 64 ma 5² + 6² = 25 + 36 = 61, e 64 ≠ 61.
Input
lati di 5, 6 e 8Risultato
non rettangoloConsigli e buone pratiche
- Individua prima l’ipotenusa: è il lato opposto all’angolo retto e il più lungo. Sta da sola in un membro dell’uguaglianza BC² = AB² + AC².
- Per un cateto si sottrae: AB² = BC² − AC². Sommare i quadrati invece di sottrarli è l’errore più frequente.
- Non dimenticare la radice finale: da BC² = 25 si ottiene BC = 5, non 25.
- Conserva il valore esatto (√52) fino alla fine e arrotonda solo all’ultimo passaggio, con la precisione richiesta.
- Per l’inverso confronta il quadrato del lato maggiore con la somma degli altri due quadrati, mai un lato qualsiasi.
- Lavora in un’unica unità di misura: converti centimetri e metri prima di elevare al quadrato.
Fonti e riferimenti
- Weisstein E.W., Pythagorean Theorem (si apre in una nuova scheda), Wolfram MathWorldPagina in inglese
- Euclid, ed. D.E. Joyce, Elements, Book I, Proposition 47 (si apre in una nuova scheda), Clark UniversityPagina in inglese
- Euclid, ed. D.E. Joyce, Elements, Book I, Proposition 48 (si apre in una nuova scheda), Clark UniversityPagina in inglese
- Programme de mathématiques pour le cycle 4 (annexe 2) (si apre in una nuova scheda), Ministère de l’Éducation nationalePagina in francese
Domande frequenti
Quando si può usare il teorema di Pitagora?
Solo in un triangolo rettangolo, quando si conoscono due lati e si cerca il terzo. Se il triangolo non ha un angolo retto l’uguaglianza non vale e servono altri strumenti, come la trigonometria o il teorema del coseno (di Carnot).
Come si calcola l’ipotenusa?
Si sommano i quadrati dei due cateti e si estrae la radice quadrata: c = √(a² + b²). Con cateti di 6 e 8 cm si ottiene √(36 + 64) = √100 = 10 cm.
Come si calcola un cateto?
Si sottrae il quadrato del cateto noto dal quadrato dell’ipotenusa e si estrae la radice: a = √(c² − b²). Con c = 13 e b = 5 si ottiene √(169 − 25) = √144 = 12.
Che cosa dicono il teorema inverso e la contronominale?
Il teorema parte da un triangolo rettangolo per calcolare una lunghezza. L’inverso parte da c² = a² + b², con c lato maggiore, per dimostrare che il triangolo è rettangolo. La contronominale parte da c² ≠ a² + b² per dimostrare che non lo è.
Perché compaiono una radice quadrata e un numero decimale?
Quando il risultato non è un quadrato perfetto, la lunghezza esatta si scrive con una radice, come √52. Lo strumento la conserva e dà anche il valore arrotondato, 7,21, utile per una misura reale.
Che cosa sono le terne pitagoriche?
Terne di numeri interi che soddisfano a² + b² = c², come 3, 4, 5 o 5, 12, 13. Ogni multiplo di una terna è ancora una terna (6, 8, 10): per questo i muratori usano la regola del 3-4-5 per tracciare un angolo retto.
Il teorema vale anche nello spazio?
Sì, applicandolo due volte. La diagonale di un parallelepipedo con spigoli a, b e c misura √(a² + b² + c²): prima si calcola la diagonale della base, poi la si usa come cateto di un secondo triangolo rettangolo.
I miei dati vengono inviati a un server?
No. Calcoli e svolgimento vengono generati direttamente nel browser, senza account e senza invio di dati.
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10 agosto 20263 min