Strahlensatz-Rechner mit Umkehrung und Rechenweg

Mit diesem Strahlensatz-Rechner berechnest du eine fehlende Strecke, wenn zwei sich schneidende Geraden von zwei Parallelen geschnitten werden, und prüfst mit der Umkehrung, ob zwei Geraden parallel sind. Zu jedem Ergebnis bekommst du den Rechenweg wie im Heft: Voraussetzungen, Verhältnisgleichung mit echten Brüchen, Einsetzen, Kreuzmultiplikation und Antwortsatz.

Die Strahlensätze: Die Geraden BM und CN schneiden sich im Punkt A (dem Scheitel oder Zentrum). Ist die Gerade MN parallel zur Geraden BC, dann gilt der erste Strahlensatz AM/AB = AN/AC – die Abschnitte auf den beiden Strahlen stehen im gleichen Verhältnis. Der zweite Strahlensatz ergänzt MN/BC = AM/AB: Auch die Parallelenabschnitte stehen in diesem Verhältnis. Zusammen ergibt sich AM/AB = AN/AC = MN/BC, und das Dreieck AMN ist eine Verkleinerung von ABC mit dem Faktor k.

Es gibt zwei Grundfiguren. In der V-Figur liegt M auf der Strecke AB und N auf der Strecke AC; das kleine Dreieck AMN liegt im großen Dreieck ABC. In der X-Figur liegen M und B auf verschiedenen Seiten von A, ebenso N und C; die beiden Dreiecke stehen sich am Scheitel A gegenüber. Die Verhältnisgleichungen sind dieselben – im Rechner nennst du einfach das kleinere Dreieck AMN.

Um eine Strecke zu berechnen, wählst du die zwei Verhältnisse, in denen die Unbekannte und drei bekannte Längen vorkommen, und multiplizierst über Kreuz. Beispiel: Mit AM = 3, AB = 5 und AC = 10 gilt 3/5 = AN/10, also AN = 3 · 10 : 5 = 6. Der Rechner wählt automatisch ein vollständiges Verhältnis, zeigt diesen Rechenweg und rundet auf zwei Nachkommastellen, wenn das Ergebnis nicht aufgeht.

Mit der Umkehrung des ersten Strahlensatzes weist du Parallelität nach: Liegen A, M, B und A, N, C in derselben Reihenfolge auf einer Geraden und gilt AM/AB = AN/AC, dann sind MN und BC parallel. Sind die Verhältnisse verschieden, folgt umgekehrt, dass die Geraden nicht parallel sind. Damit beim Vergleich nichts gerundet wird, prüft der Rechner zusätzlich die Kreuzprodukte AM · AC und AN · AB. Achtung: Der zweite Strahlensatz lässt sich nicht umkehren.

Voraussetzungen: Die Punkte müssen wirklich auf einer Geraden liegen (das steht in der Aufgabe, nicht nur in der Skizze), die Parallelität muss gegeben sein, wenn du mit dem Strahlensatz rechnest, und für die Umkehrung muss die Reihenfolge der Punkte auf beiden Geraden gleich sein. Ein vollständiger Lösungsweg nennt die Voraussetzungen und den Satz, stellt die Verhältnisgleichung auf, rechnet sie aus und endet mit einem Antwortsatz samt Einheit. Nicht verwechseln: Der „Satz des Thales“ meint im Deutschen den rechten Winkel im Halbkreis.