Veränderungsrate
t = (VA − VD) ÷ VD × 100
Negativ, wenn es sich um eine Abnahme handelt.
Prozentuale Abnahme berechnen
Berechne die prozentuale Abnahme zwischen zwei Werten, ziehe X % von einem Preis, Verbrauch oder Budget ab oder ermittle den ursprünglichen Wert vor einer Senkung. Formeln, Abnahmefaktor und die Asymmetrie zwischen Abnahme und Steigerung mit Beispielen erklärt.
Veränderung
-
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Diese Seite deckt die drei Rechnungen rund um eine Abnahme ab: die prozentuale Abnahme zwischen zwei Werten, den Wert nach einer Senkung um X % und den ursprünglichen Wert, wenn du nur das Ergebnis nach der Senkung kennst. Das passt zu Preissenkungen, sinkendem Energieverbrauch, Gewichtsabnahme, Personalabbau, geringeren Ausgaben oder Umsatzrückgängen und zu Aufgaben zur prozentualen Veränderung.
Prozentuale Abnahme zwischen zwei Werten: p = (Endwert − Anfangswert) ÷ Anfangswert × 100. Bei einer Abnahme ist das Ergebnis negativ: Eine Rechnung, die von 150 € auf 120 € sinkt, verändert sich um −30 ÷ 150 = −20 %. Man sagt, sie ist um 20 % gesunken.
Einen Wert um X % verringern: Du multiplizierst ihn mit dem Abnahmefaktor q = 1 − X ÷ 100. Eine Senkung um 15 % bedeutet mal 0,85, eine Senkung um 40 % mal 0,6. Ein Verbrauch von 4.800 kWh sinkt bei 15 % Einsparung auf 4.800 × 0,85 = 4.080 kWh.
Den Wert vor der Senkung ermitteln: Du teilst den Endwert durch denselben Abnahmefaktor. Ein Produkt, das nach 15 % Preissenkung 68 € kostet, lag vorher bei 68 ÷ 0,85 = 80 €. 15 % auf 68 € aufzuschlagen ergäbe 78,20 €: Das ist der häufigste Fehler. Eine Senkung um 100 % führt auf null und lässt keine Rückrechnung auf den Anfangswert zu; das Werkzeug zeigt dann kein Ergebnis an.
Abnahme und Steigerung gleichen sich nicht aus. Nach einer Senkung um 20 % brauchst du eine Steigerung um 25 %, um zum Anfangswert zurückzukehren, denn die Steigerung bezieht sich auf einen kleineren Grundwert. Allgemein wird eine Abnahme um p % durch eine Steigerung um p ÷ (1 − p) ausgeglichen.
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Abnahme in %, Um X % verringern oder Wert vor Senkung.
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Die Rate erscheint mit Vorzeichen (negativ bei einer Abnahme) oder der berechnete Wert, auf zwei Nachkommastellen gerundet.
Die Formeln der prozentualen Abnahme
Drei Rechnungen, verbunden durch den Abnahmefaktor q = 1 − t ÷ 100.
Wert nach einer Senkung um t %
VA = VD × (1 − t ÷ 100)
Multiplikation mit einem Abnahmefaktor kleiner als 1.
Wert vor der Senkung
VD = VA ÷ (1 − t ÷ 100)
Rückrechnung auf den Grundwert, definiert für eine Senkung unter 100 %.
Ausgleichende Steigerung
t' = t ÷ (100 − t) × 100
Für t = 20 % brauchst du t' = 25 %.
- VD
- Anfangswert (Grundwert G)
- VA
- Endwert (verminderter Grundwert)
- t
- Abnahmerate in % (Prozentsatz p)
- t'
- Steigerungsrate, die nötig ist, um zum Anfangswert zurückzukehren
Beispiel: Eine Senkung um 35 % entspricht q = 0,65; aus 400 werden 260.
Anwendungsfälle
Einkauf und Preise
Die tatsächliche Preissenkung zwischen zwei Zeitpunkten oder zwei Geschäften messen und den Originalpreis eines reduzierten Artikels zurückrechnen.
Energie und Budget
Ein prozentuales Sparziel für Verbrauch oder Ausgaben festlegen und in kWh, Liter oder Euro umrechnen.
Geschäftskennzahlen
Den Rückgang von Umsatz, Traffic, Arbeitslosenquote oder Lagerbestand zwischen zwei Zeiträumen beziffern.
Mathematikaufgaben
Abnahmefaktor, aufeinanderfolgende Veränderungen und die Rückrechnung auf den Grundwert wiederholen.
Beispiele
Gesunkene Rechnung
(120 − 150) ÷ 150 × 100 = −20 %.
Eingabe
von 150 € auf 120 €Ergebnis
−20 %Sparziel
4.800 × 0,85 = 4.080 kWh, also 720 kWh eingespart.
Eingabe
4.800 kWh − 15 %Ergebnis
4.080 kWhPreis vor der Senkung
68 ÷ 0,85 = 80 €.
Eingabe
68 € nach −15 %Ergebnis
80 €Gewichtsabnahme
6,8 kg weniger, bezogen auf die 85 kg am Anfang.
Eingabe
von 85 kg auf 78,2 kgErgebnis
−8 %Erst Senkung, dann Erhöhung
100 × 0,8 × 1,2 = 96: Bis zum Anfangswert fehlen 4 %.
Eingabe
100 − 20 % und dann + 20 %Ergebnis
96Tipps und bewährte Vorgehensweisen
- Teile immer durch den Anfangswert: Von 150 auf 120 sind −20 %, von 120 auf 150 sind +25 %.
- Um eine Senkung rückgängig zu machen, teilst du durch (1 − p): Schlage nicht denselben Prozentsatz wieder auf.
- Zwei Senkungen um je 10 % ergeben insgesamt −19 % (0,9 × 0,9 = 0,81), nicht −20 %.
- Bei einer positiven Größe kann eine Abnahme nicht über 100 % liegen: Darüber hinaus würde der Wert negativ.
- Für einen Rabatt mit durchgestrichenem Preis oder mehrere Rabatte nacheinander zeigt der Rabattrechner auch die Ersparnis an.
Quellen und Referenzen
- Weisstein E.W., Percentage Change (öffnet in einem neuen Tab), Wolfram MathWorldSeite auf Englisch
- Weisstein E.W., Percent (öffnet in einem neuen Tab), Wolfram MathWorldSeite auf Englisch
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich eine prozentuale Abnahme?
Rechne (Endwert − Anfangswert) ÷ Anfangswert × 100. Von 250 auf 200: (200 − 250) ÷ 250 × 100 = −20 %, also eine Abnahme um 20 %.
Wie reduziere ich einen Preis um 30 %?
Multipliziere ihn mit 0,70. Ein Artikel für 59 € kostet nach 30 % Rabatt 41,30 €. Eine Senkung um 25 % entspricht mal 0,75 und eine Senkung um 10 % mal 0,9.
Wie berechne ich den Wert vor einer Senkung?
Teile den Endwert durch 1 − Abnahmerate. Liegt ein Nettogehalt nach einer Kürzung um 8 % bei 1.840 €, betrug es vorher 1.840 ÷ 0,92 = 2.000 €.
Warum gleicht eine Erhöhung um 20 % eine Senkung um 20 % nicht aus?
Die Erhöhung bezieht sich auf den bereits verringerten Wert. 100 minus 20 % ergibt 80, und 80 plus 20 % ergibt 96. Du brauchst eine Erhöhung um 25 %, um wieder auf 100 zu kommen.
Was ist der Unterschied zwischen Prozent und Prozentpunkten?
Sinkt ein Satz von 10 % auf 8 %, ist er um 2 Prozentpunkte gesunken, relativ gesehen aber um 20 % (2 ÷ 10). Beide Angaben sind richtig, sagen aber nicht dasselbe aus.
Kann das Ergebnis unter −100 % liegen?
Nicht bei einer positiven Größe, die positiv bleibt: −100 % bedeutet, dass der Wert auf null gefallen ist. Ein noch kleineres Ergebnis tritt nur auf, wenn der Endwert negativ wird, etwa wenn ein Gewinn in einen Verlust umschlägt.
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