Bruchrechner mit Rechenweg
Rechne mit Brüchen, gemischten Zahlen und Dezimalzahlen: gekürztes Ergebnis, gemischte Zahl, exakte Dezimaldarstellung und erklärter Rechenweg.
Gib den Zähler über dem Bruchstrich und den Nenner darunter ein. Das optionale Feld links ist für gemischte Zahlen (2 und 1/3); Zähler und Nenner akzeptieren auch Dezimalzahlen (0,75).
Rechenschritte
Der Strich über den Ziffern markiert die Periode: Diese Ziffern wiederholen sich unendlich oft.
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Wie funktioniert dieses Tool?
Dieser Bruchrechner beherrscht die vier Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) und das Kürzen von Brüchen – exakt gerechnet, ohne Rundung, selbst bei sehr großen Zahlen. Das Ergebnis erscheint als gekürzter Bruch, als gemischte Zahl, als Dezimalzahl (mit Periode, falls sie sich wiederholt) und in Prozent. Jeder Schritt wird so erklärt, wie du ihn im Heft aufschreiben würdest.
Ein Bruch a/b steht für den Quotienten von a durch b: a ist der Zähler, b der Nenner, der niemals 0 sein darf. Zwei Brüche sind gleich, wenn du von einem zum anderen gelangst, indem du Zähler und Nenner mit derselben Zahl ungleich 0 multiplizierst oder durch sie teilst: 3/4 = 6/8 = 75/100.
Zum Addieren oder Subtrahieren müssen die Brüche zuerst denselben Nenner haben. Das Tool verwendet den kleinsten gemeinsamen Nenner, also das kgV der Nenner, damit die Zahlen klein bleiben. Danach werden die Zähler addiert bzw. subtrahiert, der Nenner bleibt erhalten.
Beim Multiplizieren rechnest du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Beim Dividieren multiplizierst du mit dem Kehrbruch des zweiten Bruchs, den du erhältst, indem du Zähler und Nenner vertauschst; die Division durch einen Bruch mit dem Wert 0 ist nicht möglich.
Zum Schluss wird das Ergebnis gekürzt: Zähler und Nenner werden durch ihren größten gemeinsamen Teiler (ggT) geteilt. Der entstehende Bruch ist vollständig gekürzt, lässt sich also nicht weiter vereinfachen. Eingegebene Dezimalzahlen (0,75) werden vor der Rechnung exakt in Brüche (3/4) umgewandelt.
Die Dezimaldarstellung eines gekürzten Bruchs ist endlich, wenn der Nenner keine anderen Primfaktoren als 2 und 5 hat (3/8 = 0,375). Andernfalls ist sie unendlich und periodisch: 1/6 = 0,1(6) bedeutet 0,16666…, wobei sich die Ziffer 6 unendlich oft wiederholt.
So verwenden Sie dieses Tool
Ersten Bruch eingeben
Tippe den Zähler über dem Bruchstrich und den Nenner darunter ein; für eine gemischte Zahl wie 1 und 1/2 füllst du zusätzlich die ganze Zahl aus.
Rechenart wählen
Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division oder einfach nur Kürzen eines Bruchs.
Zweiten Bruch eingeben
Die Rechnung aktualisiert sich bei jeder Eingabe; im Kürzen-Modus ist dieses Feld ausgeblendet.
Ergebnis und Rechenweg ablesen
Gekürzter Bruch, gemischte Zahl, exakte Dezimalzahl, Prozentwert und Erklärung Schritt für Schritt.
Die Formeln der Bruchrechnung
Für die Brüche a/b und c/d mit b und d ungleich 0:
Addition
a/b + c/d = (a × d + c × b) / (b × d)
In der Praxis nimmt man das kgV von b und d als Hauptnenner.
Subtraktion
a/b − c/d = (a × d − c × b) / (b × d)
Multiplikation
a/b × c/d = (a × c) / (b × d)
Division
a/b ÷ c/d = (a × d) / (b × c), mit c ≠ 0
Kürzen
a/b = (a ÷ ggT(a; b)) / (b ÷ ggT(a; b))
Gemischte Zahl
a/b = q + r/b, wobei a = q × b + r und 0 ≤ r < b
- a, c
- Zähler
- b, d
- Nenner, immer ungleich 0
- ggT
- größter gemeinsamer Teiler
- q, r
- Quotient und Rest der Division von a durch b
Anwendungsfälle
Hausaufgaben und Prüfungsvorbereitung
Eine Bruchrechenaufgabe aus der Mittelstufe kontrollieren, indem du deine eigenen Schritte mit denen des Tools vergleichst.
Kochen und Rezepte
Mengen in Brüchen (3/4 Tasse, 1/3 Liter) anpassen oder Portionen addieren.
Heimwerken und Maße in Zoll
Längen wie 5 3/8 und 2 11/16 Zoll ohne Rundungsfehler addieren oder subtrahieren.
Umwandlung Bruch ↔ Dezimalzahl
Die exakte Dezimaldarstellung eines Bruchs ermitteln oder den Bruch zu einer Dezimalzahl finden.
Beispiele
Zwei Brüche addieren
Das kgV von 6 und 4 ist 12: 1/6 = 2/12 und 1/4 = 3/12, also 2/12 + 3/12 = 5/12, bereits vollständig gekürzt.
Eingabe
1/6 + 1/4Ergebnis
5/12Subtrahieren mit gemischter Zahl
2 1/3 = 7/3. Auf den Nenner 12 gebracht: 28/12 − 9/12 = 19/12, also 1 und 7/12.
Eingabe
2 1/3 − 3/4Ergebnis
19/12 = 1 7/12Multiplizieren und kürzen
(2 × 9) / (3 × 10) = 18/30, dann Kürzen mit dem ggT 6: 3/5 = 0,6.
Eingabe
2/3 × 9/10Ergebnis
3/5Durch einen Bruch teilen
3/4 × 8/9 = 24/36, gekürzt mit 12: 2/3 = 0,(6).
Eingabe
3/4 ÷ 9/8Ergebnis
2/3Einen Bruch kürzen
Der ggT von 84 und 126 ist 42: 84 ÷ 42 = 2 und 126 ÷ 42 = 3.
Eingabe
84/126Ergebnis
2/3Tipps und bewährte Vorgehensweisen
- Suche beim Addieren den kleinsten gemeinsamen Nenner statt das Produkt der Nenner zu nehmen: Die Zahlen bleiben kleiner und das Kürzen am Ende fällt leichter.
- Kürze vor dem Multiplizieren, wenn es geht: Bei 4/9 × 3/8 kannst du 4 mit 8 und 3 mit 9 kürzen, bevor du rechnest.
- Ein Minuszeichen setzt du am besten vor den Bruch oder in den Zähler: −3/4 = (−3)/4 = 3/(−4).
- Die gemischte Zahl 2 1/3 bedeutet 2 + 1/3, also 7/3: Multipliziere den ganzen Anteil mit dem Nenner und addiere den Zähler.
- Um zwei Brüche zu vergleichen, bringe sie auf denselben Nenner oder vergleiche ihre Dezimaldarstellungen.
Quellen und Referenzen
- Weisstein E.W., Fraction (öffnet in einem neuen Tab), Wolfram MathWorldSeite auf Englisch
- Weisstein E.W., Least Common Multiple (öffnet in einem neuen Tab), Wolfram MathWorldSeite auf Englisch
- Weisstein E.W., Greatest Common Divisor (öffnet in einem neuen Tab), Wolfram MathWorldSeite auf Englisch
- Weisstein E.W., Mixed Fraction (öffnet in einem neuen Tab), Wolfram MathWorldSeite auf Englisch
- Weisstein E.W., Repeating Decimal (öffnet in einem neuen Tab), Wolfram MathWorldSeite auf Englisch
Häufig gestellte Fragen
Wie addiere ich zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern?
Bringe sie auf denselben Nenner, am besten auf das kgV der beiden Nenner, indem du Zähler und Nenner jedes Bruchs mit derselben Zahl multiplizierst. Danach addierst du die Zähler, behältst den gemeinsamen Nenner bei und kürzt. Beispiel: 1/6 + 1/4 = 2/12 + 3/12 = 5/12.
Wie kürze ich einen Bruch?
Teile Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler (ggT). Ist der ggT gleich 1, ist der Bruch bereits vollständig gekürzt. Beispiel: Der ggT von 18 und 24 ist 6, also 18/24 = 3/4.
Was ist ein gekürzter Bruch?
Das ist ein Bruch, dessen Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler außer 1 haben. Jeder Bruch hat genau eine gekürzte Darstellung mit positivem Nenner, wodurch sich Ergebnisse leicht vergleichen lassen.
Wie teile ich einen Bruch durch einen anderen?
Durch einen Bruch zu teilen heißt, mit seinem Kehrbruch zu multiplizieren: a/b ÷ c/d = a/b × d/c = (a × d)/(b × c). Die Division ist nicht möglich, wenn der zweite Bruch den Wert 0 hat.
Wie wandle ich einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl um?
Teile den Zähler durch den Nenner mit Rest: Der Quotient ist der ganze Anteil, der Rest wird der neue Zähler. Beispiel: 19/12 → 19 = 1 × 12 + 7, also 19/12 = 1 7/12.
Wie wandle ich eine Dezimalzahl in einen Bruch um?
Schreibe die Dezimalzahl über eine Zehnerpotenz und kürze: 0,75 = 75/100 = 3/4. Das Tool führt diese Umwandlung automatisch durch, wenn du eine Dezimalzahl wie 0,75 oder 2,5 eingibst.
Warum ergeben manche Brüche eine Dezimalzahl, die nie endet?
Ein gekürzter Bruch hat nur dann eine endliche Dezimaldarstellung, wenn sein Nenner ausschließlich die Primfaktoren 2 und 5 enthält. Sonst geht die Division nie auf und die Ziffern wiederholen sich periodisch: 1/3 = 0,333…, vom Tool als 0,(3) notiert.
Ist die Berechnung exakt?
Ja. Die Brüche werden mit ganzen Zahlen unbegrenzter Genauigkeit berechnet, ohne Gleitkommazahlen. Nur der angezeigte Prozentwert wird auf vier Nachkommastellen gerundet.
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